Hartshorne 4.1.6 Gonality de una curva

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente ejercicio de Hartshorne del libro "la geometría Algebraica':

Deje $X$ ser una curva de género $g$. Demostrar que existe un número finito de morfismos $f:X\rightarrow \mathbb P^1$ con grado de $\leq g+1$.

Mi idea es la siguiente: se elige $g+1$$P_i$$X$. Esto nos da por un ejercicio anterior (4.1.2) una función racional $r=\frac g h$ con polos en el $P_i$ y en ningún otro lugar. Ahora vamos a definir el mapa en puntos cercanos a $x \mapsto [h(x):g(x)]$. Como este mapa no es constante, es finito.

La fibra de $f^{-1}([1:0] )$ contiene exactamente el $P_i$ y, por tanto, el grado de $f$ es menor que g+1. Lo que obstruye nosotros desde la elección de menos de g+1 puntos en el principio?

Sinceramente

slin0

Answer 1

Sea $P$ un punto el $X$. Considerar el divisor $D = (g+1)[P]$ $X$. Vamos a calcular un límite inferior para la dimensión de $\mathrm{H}^0(X,D)$.

Por Riemann-Roch, $$\dim \mathrm{H}^0(X,D) = (g+1)+ 1- g+ \dim \mathrm{H}^1(X,D) \geq 2 + \dim \mathrm{H}^1(X,D) \geq 2.$% $ de f$ Thus, there exists a non-constant $\mathrm{H}^0(X,D) de $ in $.

Cualquier constante no $f$ $\mathrm{H}^0(X,D)$ da un morfismo finito $f:X\to \mathbb P^1$ de grado a lo más el grado de $D$. Así, $\deg(D) = g+1$, hay un morfismo finito $X\to\mathbb P^1$ de grado en la mayoría $g+1$.