construcción de un triángulo esférico utilizando sólo las leyes de senos y cosenos

Question

Tengo un triángulo esférico con esquinas $A,B,C$, ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ y los lados $a,b,c$ (que son opuestas a las esquinas correspondientes/ángulos).

Me da $a,b$ ( $a>b$ ) y $\alpha$. Quiero explícitamente calcular el resto de los ángulos y longitudes de un triángulo utilizando sólo la ley de los senos y la ley de los cosenos para los lados y los ángulos.

Yo también soy dado una pista, que me debe dibujar una línea a través del punto de $C$ que cruza de lado a $c$ en el ángulo derecho (a la que llamaremos el punto de intersección $D$). Así que quiero ver en dos triángulos $A,C,D$ $B,C,D$ con lados de $c', a', b$ $a, b'', c''$ donde$c'+c'' = c$$b''=a'$. Sus ángulos son $\alpha, \lrcorner, \gamma'$ $\beta, \gamma'', \llcorner$ $\gamma'+\gamma''=\gamma$ y un ángulo recto en cada triángulo.

Mi problema ahora es que, sobre todo, la ley de los cosenos para los lados hace que el cálculo es muy complicado y me pregunto si estoy haciendo las cosas bien.

Comenzando con el primer triángulo y la ley de los senos, tengo $$\sin{a'} = \sin{b}\sin{\alpha}\\ \sin{c} = \sin{b}\sin{\gamma'}$$

Usando la ley de los cosenos de los ángulos, llego $3$ razonable de expresiones simples, pero la ley de los cosenos para los lados me da $3$ términos que este aspecto $$\cos{a'}=\cos{c'}\cos{b} + \sin{c'}\sin{b}\sin{\alpha}$$

Traté de resolver el sistema resultante de $8$ ecuaciones, pero es muy complicado y me llevó a la absurda consecuencia de que un producto de los senos tiene que ser cero. Esto es probablemente debido a una expresión algebraica de error mío. Y en la parte superior de la algebraica de problemas, también voy a tener que tomar las inversas de las funciones trigonométricas en la final.

Answer 1

La ley de los senos de los rendimientos

$$\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sin b}{\sin a}$$

A partir de la cual se puede leer $\beta$, o, al menos, dos posibles valores de $\beta$. El coseno de la ley puede ser aplicada como este:

\begin{align*} \cos a &= \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos\alpha \\ \cos b &= \cos c\cos a + \sin c\sin a\cos\beta \\ \end{align*}

Así que si usted está pensando en la resolución de sistemas de ecuaciones, luego de resolver esto:

$$\begin{pmatrix} \cos b & \sin b\cos\alpha \\ \cos a & \sin a\cos\beta \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \cos c \\ \sin c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a \\ \cos b \end{pmatrix}$$

Pero ¿qué pasa con esa sugerencia? Para un ángulo recto, el coseno de la ley simplifica a la forma esférica de la versión del teorema de pitágoras, y en la ley de los senos puede colocar un denominador, por lo que tiene

\begin{align*} \cos b &= \cos a'\cos c' & \frac{\sin c'}{\sin\gamma'} = \frac{\sin a'}{\sin\alpha} &= \sin b \\ \cos a &= \cos a'\cos c'' & \frac{\sin c''}{\sin\gamma''} = \frac{\sin a'}{\sin\beta} &= \sin a \end{align*}

Y por supuesto, hay el ángulo de las versiones de la ley del coseno, que se convierten en algo más simple:

\begin{align*} \cos\alpha &= \sin\gamma'\cos a' & \cos\beta &= \sin\gamma''\cos a' \\ \cos\gamma' &= \sin\alpha\cos c' & \cos\gamma'' &= \sin\beta\cos c'' \end{align*}

Así que yo diría que usted puede calcular el $a'$ el uso de cualquiera de estos:

$$\sin a'=\sin\alpha\sin b=\sin\beta\sin a$$

y una vez que tienes eso, las otras ecuaciones dará todo lo que usted necesita. Pero de nuevo, que podría tener para convertir entre $\sin$$\cos$, por lo que tendrás que hacer caso distinciones, y comprobar que todo en la final. No estoy seguro de que este es más fácil que el de la versión anterior sin la sugerencia.