Pregunta
Deje $F(s)$ ser una función de distribución acumulativa (cdf) de una variable aleatoria en $[0,\infty)$, el cual sólo tiene un átomo en $0$, es decir, $F(0) >0$ y para todos $s>0$:$$ \lim_{h\rightarrow 0}F(s+h)=F(s).$$ Deje $\bar{F}(s)=1-F(s)$$f = F'(s)$. Tenga en cuenta que$$ F(0) = 1-\int_0^\infty f(s) ds.$$
Ahora definir la siguiente operación en $F$: $$ HF(s)=\int_0^s \int_0^u (F(u)-F(u-v)) f(u-v) e^{-v}\ dv\, du. $$ Ahora supongamos $F_1,F_2$ son tanto cdf como se describió anteriormente, y supongo que para todos los $s$, $F_1(s) \leq F_2(s)$ y $F_1(0)=F_2(0)$, muestran que $HF_1(s) \leq HF_2(s)$ todos los $s$.
Pensamientos
Uno puede utilizar Fubini para cambiar el orden de integración, la segunda parte puede entonces ser resuelto escribir como: \begin{align*} -\int_0^s \int_v^s F(u-v) f(u-v) \, du e^{-v}\, dv &= -\int_0^s\int_0^{s-v}F(u)f(u)\,du e^{-v}\,dv\\ &=-\frac{1}{2} \int_0^s \left( F(s-v)^2-F(0)^2 \right) e^{-v}\, dv. \end{align*} Sin embargo, no podemos hacer algo similar para la primera parte como aquí el argumento de $F$ $f$ no son las mismas..
Partal Integración
Como se sugiere en la respuesta, integración parcial puede ser utilizado para deshacerse de la densidad de $f$. Una alternativa de integración parcial a utilizar para simplificar la primera parte es de señalar que la primera parte es igual a: $$ \int_0^sF(u)\int_0^uf(u-v) e^{-v}dv du $$ y, a continuación, utilizar la integración parcial en $\int_0^uf(u-v) e^{-v}dv$, integrando $f(u-v)$ y diferenciar $e^{-v}$.
