Dimensión de un cierto $L^p$ cociente espacio.

Question

Definir $L^p_0 := \{ f \in L^p : \int f = 0 \}$. Estoy tratando de calcular la dimensión de la cokernel de la inclusión del operador $i:L^p_0 \to L^p$. Es decir, estoy tratando de calcular $$\dim ( L^p / L^p_0 )$$

Si $p=2$, me gustaría tener un espacio de Hilbert y yo diría que $$ L^2_0 = \{ f \en L^2 : \langle f,c\rangle =0\}, $$ es decir, $L^2_0$ es el complemento ortogonal del subespacio de constante funciones. Como este subespacio tiene dimensión 1, supongo que hay algunos simple argumento a la conclusión de que la cokernel de su espacio ortogonal también es 1 (Es esto debido a que el teorema de la proyección? ¿Cómo puedo hacer esto con rigor?)

Para el caso general, no sé cómo proceder para hacer la misma cosa de manera rigurosa para un espacio de Banach. Creo que esto es bastante sencillo, pero me he olvidado de la mayoría de análisis funcional cosas y me gustaría volver a aprender estas cosas. Gracias de antemano.

Pregunta extra: ¿Es cierto que el espacio dual $(L^p_0)^* = L^{p'} / \mathbb{R}$ ? Es la inclusión $i:L^p_0 \to L^p$ el adjunto del operador de la proyección de $pr: L^{p'} \to L^{p'} / \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Por lo general, si $T:X\to Y$ es un surjective lineal mapa, $X/\ker T$ es isomorfo a $Y$. Aplica a tu caso, $X=L^p$, $Y=\mathbb{R}$, $T=\int f$, este rendimientos $L^p/L^p_0 $ ser isomorfo a $\mathbb{R}$. (O $\mathbb{C}$ si utiliza complejo escalares)

Contenido extra:

1. Si $M$ es un subespacio cerrado de un espacio de Banach $X$, la inclusión $i:M\to X$ ha adjoint $i^*:X^*\to M^*$, la cual es simplemente la restricción de funcionales lineales en $X$$M$. Este adjunto se surjective por el de Hahn–Banach teorema. Su núcleo es $M^\perp\subset X^*$, el espacio de funcionales de fuga en $M$. De ello se desprende que $M^* $ (isométrico) isomorfo a $X^*/M^\perp$.

2. Del mismo modo (y más relevante para tu pregunta), el mapa de proyección $\pi : X\to X/M$ ha adjoint $\pi^*:(X/M)^*\to X^*$ que actúa por $\pi^*(f)(x) = f(x+M)$. El rango de $\pi$ es, precisamente,$M^\perp$. En efecto, es claro que $\pi^*(f)$ se desvanece en $M$; y, por el contrario, cada elemento de a $f\in M^\perp$ natural define un funcional lineal en el coset espacio de $X/M$. Por último, $\pi^*$ es una isometría, que uno puede ver con la definición del cociente de la norma en $X/M$.

En tu ejemplo, $M=L_0^p$, e $M^\perp = \{f\in L^{p'} : f\equiv \operatorname{const}\}$. Por eso, $(X/M)^*$ es isomorfo al espacio de constante funciones en $L^{p'}$, que es isomorfo a $\mathbb{R}$.

Lectura sugerida: Conway, Un primer curso en el análisis funcional, el capítulo sobre los espacios de Banach.