Si el % de lados $a$, $b$ y $c$ $\triangle ABC$ están en progresión aritmética

Question

Si el % de lados $a$, $b$ $c$ $\triangle ABC$ están en progresión aritmética, y demostrar que: $$\cos (\dfrac {B-C}{2})=2\sin (\dfrac {A}{2})$ $

Mi intento:

Desde entonces, $a,b,c$ son en AP $$2b=a+c$ $ $$\sin A+\sin C=2\sin B$ $ $$2\sin (\dfrac {A+C}{2}).\cos (\dfrac {A-C}{2})=2\sin B$ $ $$\sin (\dfrac {A+C}{2}).\cos (\dfrac {A-C}{2})=\sin B$ $ $$\sin (\dfrac {A+C}{2}).\cos (\dfrac {A-C}{2})=2.\sin (\dfrac {A+C}{2}).\cos (\dfrac {A+C}{2})$ $ $$2\cos (\dfrac {A+C}{2})=\cos (\dfrac {A-C}{2})$ $

Answer 1

No se puede, porque no es cierto. Consideremos un triángulo de ángulo recto con el % de lados $3,4,5$. Entonces: $$ \cos \left(\frac{B-C}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos{(B-C)}} {2}} = \sqrt {\frac {1 + \cos B\cos + C \sin B\sin C} {2}} = \frac {3} {\sqrt {10}}, \ 2\sin \frac A2 = 2\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.$$