Verificación de una prueba que implica máxima de Hausdorff. principio y colecciones

Question

Se me da esta proposición a demostrar que es un corolario de HMP(Hausdorff maximality principio). Mis dos preocupaciones: 1. es mi intento de prueba de la correcta? y 2. Es HMP aplicable incluso cuando estamos tratando con colecciones, en lugar de conjuntos? Este último punto me preocupa porque después de la lectura de Asaf Karagila respuesta aquí trataré de ser más cuidadoso cuando se habla de las colecciones.

Aquí es el corolario:

La proposición: Supongamos $X$ es no nulo conjunto y $A$ es no nula de la colección de subconjuntos de a $X$, e $S$ es una subcolección de $A$ que es monótona. Entonces existe un maximal monótono subcolección de $A$ que contiene $S$.

He incluido una prueba de esquema porque: 1. Todavía no puedo escribir pruebas correctamente, así que mi razonamiento en la prueba final puede parecer mal y 2. Así que usted puede averiguar donde tengo las cosas mal, si lo hice.

Prueba de esquema: Primero definimos una relación $\leq$ $A$ $A_i \leq A_j$ fib $A_i \subset A_j$ $A_i, A_j \in A$ y nos muestran que la $\leq$ es un orden parcial. A continuación, nos encontramos con una subcolección $S$ $A$ de manera tal que el orden es lineal en $S$. Finalmente aplicamos HMP para demostrar la existencia de la subcolección pide en la proposición.

Prueba: Vamos a $\leq$ ser una relación en $A$ tal que $A_i \leq A_j$ fib $A_i \subset A_j$ $A_i, A_j \in A$. $\leq$ es un orden parcial, ya que es: 1. reflexiva: si $A_i \in A$$A_i \leq A_i$, 2. anti-simétrica: si $A_i \leq A_j$ $A_j \leq A_i$ $A_i = A_j$ y 3. transitiva: si $A_i \leq A_j$$A_j \leq A_k$$A_i \leq A_k$. Deje $S$ ser una subcolección de $A$. Ya no es un orden parcial en $A$, entonces no es un orden parcial en $S$. Además vamos a $S$ ser de las colecciones de los conjuntos de $S_i$ tal que $S_1 \subset S_2 \subset S_3 \subset \dots \subset S_n$$S = \{S_1, S_2, S_3, \dots, S_n\}$. Podemos comprobar que para cualquier par de conjuntos $S_i, S_j \in S$; $S_i \leq S_j$ o $S_j \leq S_i$, por lo $\leq$ es lineal con el pedido en $S$. Por HMP, existe un conjunto $M$ que es máxima y $S \subset M$. Y desde $M \subset A$ $A$ es monótona, $M$ es monótona así. $\square$

Si esta prueba no es correcta (o incluso si no) ¿hay alguna otra prueba(s)?

La iluminación por favor!

ACTUALIZACIÓN 1:

Aquí está la declaración de HMP estoy usando:

Cualquier linealmente ordenado subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es contenida en la máxima linealmente subconjunto ordenado.

ACTUALIZACIÓN 2:

Como por respuesta por Asaf Karagila abajo y comentarios, tengo una prueba final con correcciones menores. Parecía mejor dejar el original de la prueba de referencia para el futuro sin futuro a los lectores tener que ir a través de la revisión de la historia para entender lo que estaba sucediendo. Así que aquí vamos:

Prueba: Vamos a $\leq$ ser una relación en $A$ tal que $A_1 \leq A_2$ fib $A_1 \subseteq A_2$ $A_1, A_2 \in A$. $\leq$ es un orden parcial, ya que es: 1. reflexiva: si $A_1 \in A$$A_1 \leq A_1$, 2. anti-simétrica: si $A_1 \leq A_2$ $A_2 \leq A_1$ $A_1 = A_2$ y 3. transitiva: si $A_1 \leq A_2$$A_2 \leq A_3$$A_1 \leq A_3$. Deje $S$ ser una subcolección de $A$. Ya no es un orden parcial en $A$, entonces no es un orden parcial en $S$. También desde $A$ es monotono, $S$ es monotono así. A continuación, comprobar que para cualquier par de conjuntos $S_1, S_2 \in S$: $S_1 \leq S_2$ o $S_2 \leq S_1$, por lo $\leq$ es lineal con el pedido en $S$. Por HMP, existe un conjunto $M$ que es máxima y $S \subset M$. Y desde $M \subset A$ $A$ es monótona, $M$ es monótona así. $\square$

Answer 1

Las salvedades que Andrés Caicedo se menciona en los comentarios son válidos, como es su preocupación. En líneas generales, se puede aplicar HMP a las colecciones. En ZFC, sin embargo, si consideramos a cualquier colección de subconjuntos de a $X$ donde $X$ es un conjunto, entonces esta colección en sí es un conjunto así.

Si usted está trabajando ingenuamente, a continuación, que normalmente significa que esta colección es un conjunto. Puedo decir que cuando yo era un asistente de enseñanza en los últimos tres años en una introducción a la teoría de conjuntos supuesto, la mención en la primera clase que no todas las colecciones son conjuntos, pero como trabajamos, ingenuamente, siempre vamos a tratar a nuestros colecciones de conjuntos y está muy bien (en realidad, nunca hablar de la colección de "todos los conjuntos", y así sucesivamente). Todavía le sugiero que verifique esto con su profesores, podía herir, pero estar preparado para una posibilidad de que encogimiento de hombros con una mirada sorprendida "por supuesto que son conjuntos". Podría suceder.

Como para la prueba en sí, me parece que estás un poco confundido con los detalles. Usted se da una linealmente ordenado subconjunto $S$. Además usted no dado que es finito.

Por último, si no se le da ese $A,S$ son conjuntos probablemente es mejor asumir que $M$ sí es una colección así.

Comentario Final:

No estoy seguro exactamente cómo formular HMP. Si es que la existencia de una máxima de la cadena, entonces usted necesita para cambiar algo de su prueba a fin de demostrar que $M$ existe, por ejemplo mediante la adopción de un nuevo orden parcial - todos los monotono subcolecciones extender $S$, luego por HMP no es una máxima de la cadena en que orden parcial y su unión es la querían $M$.

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Editar:

Parece que la prueba es correcta, en el sentido de que realmente solo se aplican HMP a $A$ $\subseteq$ relación. Desde $S$ es monótona está contenida en un máximo de cadena (que en sí es monótona).

Como para el fundamental problema, el archivo de enlace (en los comentarios) parece acercarse a este problema de una manera natural. Así que creo que es bastante seguro asumir que estas colecciones son conjuntos, porque son todos los elementos del juego de poder de $X$.

Es cierto que algunos se requiere precaución debido a que se puede hablar de la colección de todos los conjuntos; o la colección de todos definible clases (lo que significa); estos casos requieren un manejo cuidadoso y la comprensión de los puntos finos entre series, clases y colecciones.

Pero, por supuesto, ingenuamente, hablando normalmente hablamos acerca de las colecciones de subconjuntos de un conjunto $X$, y estas colecciones ellos mismos se establece así que está todo bien.

(Ahí está de nuevo la advertencia de que puede ejecutar en, que el universo de los conjuntos no es un objeto fijo, y podemos agregar y, a veces, quitar conjuntos de ella; pero en el enfoque ingenuo, y en el de matemática básica introducción a la teoría de conjuntos puede ser seguro asumir que usted tiene fijo de un universo de todos los conjuntos que usted necesitará siempre, y más.)