Se me da esta proposición a demostrar que es un corolario de HMP(Hausdorff maximality principio). Mis dos preocupaciones: 1. es mi intento de prueba de la correcta? y 2. Es HMP aplicable incluso cuando estamos tratando con colecciones, en lugar de conjuntos? Este último punto me preocupa porque después de la lectura de Asaf Karagila respuesta aquí trataré de ser más cuidadoso cuando se habla de las colecciones.
Aquí es el corolario:
La proposición: Supongamos $X$ es no nulo conjunto y $A$ es no nula de la colección de subconjuntos de a $X$, e $S$ es una subcolección de $A$ que es monótona. Entonces existe un maximal monótono subcolección de $A$ que contiene $S$.
He incluido una prueba de esquema porque: 1. Todavía no puedo escribir pruebas correctamente, así que mi razonamiento en la prueba final puede parecer mal y 2. Así que usted puede averiguar donde tengo las cosas mal, si lo hice.
Prueba de esquema: Primero definimos una relación $\leq$ $A$ $A_i \leq A_j$ fib $A_i \subset A_j$ $A_i, A_j \in A$ y nos muestran que la $\leq$ es un orden parcial. A continuación, nos encontramos con una subcolección $S$ $A$ de manera tal que el orden es lineal en $S$. Finalmente aplicamos HMP para demostrar la existencia de la subcolección pide en la proposición.
Prueba: Vamos a $\leq$ ser una relación en $A$ tal que $A_i \leq A_j$ fib $A_i \subset A_j$ $A_i, A_j \in A$. $\leq$ es un orden parcial, ya que es: 1. reflexiva: si $A_i \in A$$A_i \leq A_i$, 2. anti-simétrica: si $A_i \leq A_j$ $A_j \leq A_i$ $A_i = A_j$ y 3. transitiva: si $A_i \leq A_j$$A_j \leq A_k$$A_i \leq A_k$. Deje $S$ ser una subcolección de $A$. Ya no es un orden parcial en $A$, entonces no es un orden parcial en $S$. Además vamos a $S$ ser de las colecciones de los conjuntos de $S_i$ tal que $S_1 \subset S_2 \subset S_3 \subset \dots \subset S_n$$S = \{S_1, S_2, S_3, \dots, S_n\}$. Podemos comprobar que para cualquier par de conjuntos $S_i, S_j \in S$; $S_i \leq S_j$ o $S_j \leq S_i$, por lo $\leq$ es lineal con el pedido en $S$. Por HMP, existe un conjunto $M$ que es máxima y $S \subset M$. Y desde $M \subset A$ $A$ es monótona, $M$ es monótona así. $\square$
Si esta prueba no es correcta (o incluso si no) ¿hay alguna otra prueba(s)?
La iluminación por favor!
ACTUALIZACIÓN 1:
Aquí está la declaración de HMP estoy usando:
Cualquier linealmente ordenado subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es contenida en la máxima linealmente subconjunto ordenado.
ACTUALIZACIÓN 2:
Como por respuesta por Asaf Karagila abajo y comentarios, tengo una prueba final con correcciones menores. Parecía mejor dejar el original de la prueba de referencia para el futuro sin futuro a los lectores tener que ir a través de la revisión de la historia para entender lo que estaba sucediendo. Así que aquí vamos:
Prueba: Vamos a $\leq$ ser una relación en $A$ tal que $A_1 \leq A_2$ fib $A_1 \subseteq A_2$ $A_1, A_2 \in A$. $\leq$ es un orden parcial, ya que es: 1. reflexiva: si $A_1 \in A$$A_1 \leq A_1$, 2. anti-simétrica: si $A_1 \leq A_2$ $A_2 \leq A_1$ $A_1 = A_2$ y 3. transitiva: si $A_1 \leq A_2$$A_2 \leq A_3$$A_1 \leq A_3$. Deje $S$ ser una subcolección de $A$. Ya no es un orden parcial en $A$, entonces no es un orden parcial en $S$. También desde $A$ es monotono, $S$ es monotono así. A continuación, comprobar que para cualquier par de conjuntos $S_1, S_2 \in S$: $S_1 \leq S_2$ o $S_2 \leq S_1$, por lo $\leq$ es lineal con el pedido en $S$. Por HMP, existe un conjunto $M$ que es máxima y $S \subset M$. Y desde $M \subset A$ $A$ es monótona, $M$ es monótona así. $\square$