¿Por qué $\lim\limits_{x\to\infty} e^{\ln(y)} = e^{\,\lim\limits_{x\to\infty} \ln(y)}$ ?

Question

En el límite anterior $y = x ^{\frac 1x}$ . ¿Lo anterior es un límite o una propiedad del exponente?

Gracias de antemano.

Contexto (Último párrafo): http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LHospitalsRule.aspx

Answer 1

Es cierto para funciones continuas que cuando $\lim_{n\to\infty} z_n = z$ existe (por lo que $z$ finito), que $$\lim_{n\to\infty} f(z_n) = f(\lim_{n\to\infty} z_n)$$

En el problema anterior podemos dejar que $z_n = \log(x^n)^{1/x_n}$ para alguna secuencia $x_n \to \infty$ . En ese caso, $$\lim_{n\to\infty} z_n = 0$$

Ahora que $e^x$ es una función continua tenemos: $$\lim_{n \to \infty} \exp{(\log(x_n)^{1/x_n})} = \exp(\lim_{n\to\infty}\log(x_n)^{1/x_n}) = 1$$

Answer 2

El teorema citado por muaddib es válido cuando n es natural. Sin embargo, en tu pregunta, quieres que x sea real. Y la respuesta de Jane Smith tiene sentido, pero es bastante cualitativa. Intentaré demostrar la siguiente afirmación:

Si $f$ es continua en un intervalo I $\in \mathbb{R}$ y $L \in \mathbb{}$ Yo, entonces $$\ lim_{x\to\ p}f(g(x))= f(lim_{x\to\ p}g(x))$$ $$\ lim_{x\to\infty}f(g(x))= f(lim_{x\to\infty }g(x))$$

Dado que existen los límites de g en el miembro derecho de la ecuación.

Podemos hacer $lim_{x\to\ p}g(x)=L$ entonces para todo $\epsilon >0$ tenemos un $\delta$ tal que $$|x-p|<\delta => |g(x)-L|<\epsilon$$

Desde $f$ es continua, entonces para todo $\epsilon_1 >0$ tenemos un $\delta_1$

$$|g(x)-L|<\delta_1 => |f(g(x))-f(L)|<\epsilon_1$$

Es suficiente hace $\delta_1=\epsilon$ . Podemos hacerlo porque $\epsilon$ es arbitraria, por lo que puede asumir cualquier valor positivo real. En el segundo caso $x \to \infty$ es suficiente que cambies $p$ para $\infty$ y hacer $x>\delta$ . El resto es igual. El caso $x \to -\infty$ es análogo al caso $x \to \infty$ .

Si $|lim_{x\to p}g(x)|= \infty$ entonces para todo $\epsilon >0$ tenemos un $\delta$ tal que $$|x-p|<\delta => |g(x)|>\epsilon$$

Ahora tenemos que investigar el comportamiento de $f(y)$ cuando $|lim_{x\to p} y|= \infty$ . En caso de que $|lim_{x\to \infty}g(x)|= \infty$ es análogo. Por lo tanto, en cualquier caso anterior, sólo tiene que investigar el límite de g.

Answer 3

Esta pregunta ya se ha respondido aquí:

P: Estaba estudiando la regla de L'Hopital y cómo tratar la forma indeterminada indeterminadas del tipo 0^0. No me queda claro cómo lim e^f(x) = e^lim f(x).

R: Puedes mover el límite dentro de la exponencial, porque la exponencial en sí no tiene puntos problemáticos ("es continua en todas partes"), por lo que es sólo la f(x) en el interior que usted tiene que tratar con con respecto al límite.

Referencia https://www.physicsforums.com/threads/limits-involving-exponential-functions.330771/

Answer 4

Como la exponencial es una función continua podemos pasar los límites dentro de la función

Lemma: Si una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \to x$ y tenemos una función continua f entonces $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \to \infty} x_n)=f(x)$ Y en tu caso $f(x)=e^x$ Pero para que esto sea cierto es necesario que existan límites