Prueba de comprobación: convergencia consecutivas implica la compactación

Question

Yo intento para resolver este problema:

Si $A$ es un subconjunto de a $\Bbb R^n$ y cada secuencia $\{p_n\}_{n=1}^{\infty}$ de los puntos en $A$ tiene una larga convergente a un punto en $A$, $A$ es compacto.

Un importante teorema (Heine–Borel teorema) para apoyar mi prueba:

$A$ es cerrado y acotado subconjunto de $\Bbb R^n$, $A$ es compacto.

Estaba pensando que ya que si $A$ es cerrado y acotado, $A$ sería tan compacto estoy tratando de demostrar que $A$ es cerrado y $A$ está acotada.

Aquí está mi prueba:

$1)$ Supongamos $A$ no está delimitado, satisfaciendo la condición. Desde $A$ es ilimitado, no existe una secuencia $\{p_i\}_{i=1}^{\infty}$ tal que $|p_n|>n$. Su larga no convergen en $\Bbb R^n.$ contradice a la condición dada por el problema, por lo $A$ está acotada.

$2)$ Supongamos $A$ no está cerrado, no existe un límite de punto de $x$ de $A$, $x \not \in A.$ Desde $x$ es un punto límite, $\forall n>0, \exists x_n \text{ s.t. } |x_n-x|<\frac{1}{n},x_n \in A, x_n \neq x$. A continuación, $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de puntos. Desde la larga de $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ siempre converge a $x$. $x \in A$, que lleva a una contradicción. Por lo $A$ es cerrado.

Desde $A$ es cerrado y acotado, por Heine–Borel teorema, $A$ es compacto.

No estoy seguro de mi prueba es correcto o no? Porque mi prueba es diferente de la prueba dada por el enlace. Si nada malo, ¿qué es? Existe alguna conexión entre la prueba dada por el hipervínculo y el otorgado por mí?

Answer 1

con 1), ¿por qué dice $(p_n)_n$ no tiene convergente larga? Esto es cierto, pero necesita un pequeño lema: una secuencia convergente es acotada, más el hecho de que cada subsequence de $(p_n)$ también es ilimitado.

Con 2: Deje $x \in \overline{A}$. A continuación, $x \in \overline{A}$ significa que hay una secuencia $(a_n)_n$ $A$ tal que $a_n \to x$ (esto se aplica en todos los espacios métricos, y de hecho basta para recoger $a_n \in B(x,\frac{1}{n})$).

De modo que hay un $a \in A$ y una larga $a_{n_k} \to a$ por supuesto $A$. Pero cualquier subsequence de una secuencia convergente converge al mismo límite, por lo $a_{n_k} \to x$. Como los límites de la (sub)secuencias son únicos: $x =a \in A$, lo $A$ es cerrado.

No hay necesidad de ir con una contradicción.