¿Es la función $y=\frac{1}{1+e^{1/x}}$ continua en $x=0$?

Question

Aquí está la pregunta que estoy tratando de resolver:

Determinar si la siguiente función es continua en $x=0$:

$$y=\frac{1}{1+e^{1/x}}$$

Por la continuidad, sabemos que existen tres criterios:

1. $f(a)$ está definido
2. el límite es finito
3. $\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$

Pero aquí podemos decir que la izquierda y la derecha límite infinito? y qué significa que debido a $1/x$ es infinito, límite en cero es igual a los valores de la función en el punto cero, es decir, positiva (infinito)?por favor me ayudan a aclarar la solución de este problema

Answer 1

Tanto los límites izquierdos y derecho límites como $x\rightarrow 0$ existen, y son

\begin{align} \lim{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{1 + e^{1/x}} &= 0 \newline \lim{x\rightarrow 0^-} \frac{1}{1 + e^{1/x}} &= 1 \end{align}

que desprende el hecho de que el $\lim{x\rightarrow 0^+} e^{1/x} = \infty$ y $\lim{x\rightarrow 0^-} e^{1/x} = 0$.

Porque los límites izquierdos y derecho son diferentes, esta función es discontinua en $0$.

Answer 2

Su función no pasa el primer criterio, como está definido en $\frac 1x$ $x=0$. No hay necesidad de ir más allá.