Demostrar que $a=2,b=2,c=2$ para un sistema de tres ecuaciones.

Question

Consideremos un sistema de ecuaciones :
\begin{gather} a^3+b=3a+4\tag{i}\\ 2b^3+c=6b+6 \tag{ii}\\ 3c^3+a=9c+8\tag{iii} \end{gather}

He probado con los siguientes pasos :
$6\times(i)+3\times(ii)+2\times$ (iii) da :
$6(a^3+b^3+c^3)+6b+3c+2a=18(a+b+c)+58$ . Pero no sé cómo resolver de esta manera. Por el método de inspección he visto $a=b=c=2$ .

Answer 1

Escribe las ecuaciones como

\begin{align*} (a-2)(a+1)^2 = 2-b\\ 2(b-2)(b+1)^2 = 2-c\\ 3(c-2)(c+1)^2 = 2-a \end{align*} Tenga en cuenta que $(a,b,c) = (2,2,2)$ es una solución válida.

$a>2 \Rightarrow b<2\Rightarrow c>2 \Rightarrow a<2. $ Una lógica similar excluye $a<2$ . Esto obliga a $a=b=c=2$ que es la única solución

Answer 2

Esto es feo, pero se puede reescribir el sistema como.

$$ b=-a^3+3a+4\\ c=-2b^3 + 6b+6 \\ a=-3c^3+9c+8$$

Ahora, puedes sustituir el primero por el segundo y ese resultado por el tercero.

Esto mostrará una de las raíces, $a = 2$ inmediatamente y otra inútil.

A continuación, puedes volver a introducir las otras dos y obtener las otras dos raíces.