'cíclicamente desplazado subespacio' del primer dimensiones de espacio vectorial

Question

Me he encontrado con esta situación.

Deje $p$ ser un número primo, $V$ $\mathbb{Q}$- espacio lineal de dimensión $p$ y alguna base $v_0,\dots, v_{p-1}$, ahora vamos a $u_0$ ser un vector $$ u_0 = v_{i_1} + \cdots + v_{i_k}, $$ donde los índices son diferentes y algunos que faltan (es decir,$k<p$). Ahora vamos a 'cíclicamente turno de' la $u_0$ vector de la siguiente manera $$u_{n}=v_{i_1+n} + \cdots + v_{i_k+n}, $$ donde $n=0,\dots,p-1$ y los índices se calcularán modulo $p$.

Pregunta: ¿$u_0,\dots,u_{p-1}$ formulario de una base de $V$?

Yo pienso que sí. Pero es obvio, que no se mantiene para non-prime dimensiones o de permutaciones que no son ciclos completos.

He visto demostrado en un caso especial, por los métodos del grupo de representación de sabor. El caso fue cuando el espacio es el grupo de álgebra $\mathbb{Q}[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]=A$ y la base original se compone de los elementos del grupo (que está bien, ya que están incluidos en A) y el cambio de marchas se realiza mediante la adición de $1$. Entonces, poco, hay establecido un isomorfismo entre el $A$ $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}[\zeta_p]$ donde $\zeta_p$ es una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad. Las imágenes de $u$'s forman una base. No estoy seguro de si esta prueba no es adaptable a la situación general.

Pero eso no importa, de hecho estoy buscando para obtener más elemental enfoque, sólo el uso de álgebra lineal del lenguaje. Me voy a dar una conferencia sobre algo, y esto es sólo una pequeña parte en una demostración elegante. Pero no quiero introducir el $\mathbb{Q}[\zeta_p]$ anillo, parece antinatural y complicado, y creo que mi público se pondrá fuera de pista Si puedo empezar a utilizar el nuevo lenguaje en una conferencia que no tiene nada que ver con el álgebra. Un pequeño desvío usando sólo álgebra lineal debe ser más fáciles de digerir.

Acabo de vino a través de una noción de cíclico subespacio y cíclico vector. De una manera más compacta idioma queremos decidir si $u_0$ $T$- cíclico vector, donde $T$ es la transformación lineal dada por la permutación cíclica de base.

Answer 1

La teoría de la representación argumento puede estar indicado el uso sólo de álgebra lineal. Estás diciendo que el lapso de la $u_n$ es un ideal en el anillo de $A=\mathbb{Q}[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]=\mathbb{Q}[x]/(x^p-1)\cong\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}[\zeta_p]$, y luego mostrando el único ideal que podría ser es $A$ sí. Pero también se puede decir que este solo en términos de polinomios: para decir que lo ideal es que todos los de $A$ es sólo para decir que sin el adecuado factor de $x^p-1$ aniquila el ideal. Y esto es sólo una declaración sobre el comportamiento de la lineal mapa de $x$$A$.

Aquí los detalles. Deje $T:V\to V$ ser lineal mapa dado por $T(v_n)=v_{n+1}$ y deje $U$ ser el lapso de la $u_n$. Desde $T(u_n)=u_{n+1}$, $T$ mapas de $U$; deje $S:U\to U$ ser la restricción de $T$$U$.

Ahora vamos a determinar el polinomio mínimo de a $S$. Sabemos que $T^p=I$, lo $S^p=I$ y el mínimo de polinomio es un factor de $x^p-1$. La irreductible factores de $x^p-1$ $\mathbb{Q}$ $x-1$ $\sum_{n=0}^{p-1}x^n$ (aquí es donde usamos ese $p$ es primo). Desde $S(u_0)=u_1\neq u_0$, $S-I\neq 0$ (aquí es donde usamos ese $k<p$). También, $$\sum_{n=0}^{p-1} S^nu_0=\sum_{n=0}^{p-1}u_n=k\sum_{n=0}^{p-1}v_n\neq 0$$ (since each $v_n$ appears a total of $k$ times among the different $u_n$), so $\sum_{n=0}^{p-1}^n\neq 0$. So the minimal polynomial does not divide $x 1$ or $\sum_{n=0}^{p-1}x^n$, and the only possibility for the minimal polynomial is $x^p-1$.

Desde el polinomio mínimo de a $S$ divide el polinomio característico de a $S$, el polinomio característico tiene un grado mínimo de $p$. Pero el grado del polinomio característico es $\dim U$, lo $\dim U\geq p$. Esto sólo es posible si $\dim U=p$$U=V$. Por lo tanto el $u_n$ abarcan todos los de $V$, y son una base desde allí se $p$ de ellos.