Clases de Chern mod 2 igualdad de Stiefel-Whitney través de clases de Milnor/Stasheff idioma

Question

Estoy teniendo truble con el Ejercicio 14B de Milnor/Stesheff Característica clases: demostrar que el total de la clase de Chern de un comple paquete es asignado a la Stiefel-Whitney clase por el coeficiente de homomorphism $H^*(B,\mathbb{Z})\to H^*(B,\mathbb{Z}_2)$. Soy consciente de que esta pregunta/respuesta , donde un enfoque muy diferente es utilizado en la respuesta, pero quisiera entender lo que se supone que uno debe hacer en la Milnor del ejercicio.

Mi esfuerzo:

Para mostrar que extraño dimensiones SW clases de un complejo paquete de $\xi$ son cero, utilizamos el hecho de que hay un paquete de mapa de $\xi$ a la canónica paquete sobre el complejo Grassmanian que no tiene ningún extraño dimensiones de las células: connaturalidad de SW clases implica entonces que $w_{2k+1}(\xi)=0$. (Espero que esto sea correcto.)

Para la parte superior de la clase $c_n$ que es igual a la de Euler de la clase, se muestra en & 9.2 que el coeficiente de homomorphism asigna a la parte superior SW de la clase.

Sin embargo, no veo cómo utilizar algún tipo de inducción. Si $E_0$ es el complemento de la sección cero, hay un diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} H^{2j}(B) @>{\pi^*}>> H^{2j}(E_0)\\ @VVV @VVV \\ H^{2j}(B, \mathbb{Z}_2) @>{\pi^*}>> H^{2j}(E_0, \mathbb{Z}_2)\\ \end{CD} $$ donde las líneas horizontales son isomorphisms para $j<n$. La parte superior horizontal de la flecha mapas de la clase de Chern $c_j(\xi)$ a la clase de Chern $c_j(\xi_0)$ de los "complemento ortogonal de paquete". Por inducción, en la parte derecha flecha vertical de mapas de la clase de Chern de $\xi_0$ a su SW de la clase. Sin embargo, como para demostrar que el SW de la clase $w_{2j}(\xi)$ se asigna a $w_{2j}(\xi_0)$? (La horizontal inferior del mapa no es inducida por un paquete de homomorphism..)

Edit: ¿Es esta la mejor idea? La proyección de $\pi: E_0\to B$ induce un pullback compleja $n$-bundle $\pi^*\xi$ (con base espacio de $E_0$) que puede ser naturalmente descomponerse como la suma de un trivial línea bundle $\epsilon^1$ $\xi_0$ (La fibra de $\epsilon^1$ $e_0$ es generado por los múltiplos de $e_0$ en su fibra más $\pi(e_0)$). A continuación, el uso de $w_{2j}(\pi^*\xi)=w_{2j}(\epsilon^1\oplus\xi_0)=w_{2j}(\xi_0)$ y el hecho de que $\pi^*$ mapas de $w_{2j}(\xi)$ $w_{2j}(\pi^* \xi)$por connaturalidad, llegamos a la conclusión de que $\pi^*$ mapas de $w_{2j}(\xi)$$w_{2j}(\xi_0)$. Esto, junto con la inducción de la anterior, completa la prueba.

Es esto correcto?

Answer 1

Esto es todo perfectamente bien. Sin embargo hay que notar dos cosas: tiene que asumir $n>1$, lo cual está bien, ya que para $n=1$ estamos en el ya conocido caso de la clase superior, es decir, la clase de euler (pero supongo que lo hiciste como el inicio de la inducción). Y la otra cosa es que lo que haces en realidad no es muy diferente desde el principio de separación, en realidad, es casi el mismo. Lo que tratamos de hacer en el principio de separación, es el primero en encontrar un espacio donde se pueden dividir de una línea de paquete. Aquí usted hacer lo mismo solo que no se preocupa por el espacio resultante para ser compacto (en el caso de $B$ fueron por ejemplo). Así que si usted compactify su espacio de $E_0$ por projectivizing (es decir, quotiening a cabo la multiplicación escalar), se obtiene precisamente de la misma.

Como un último comentario acerca de mi primer comentario: supongo que esto en realidad depende de cómo se interprete la inducción. Ya sea que usted comience con la línea de paquetes y, a continuación, ir de $n$-paquetes a $n+1$-haces o empezar con un $n$-paquete y, a continuación, tratar de reducir a un $n-1$-bundle para aplicar su conocimiento de la clase de euler.

Eso es todo.