Aritmética Modular (MA) tiene el mismo axiomas como de primer orden de la aritmética de Peano (PA) con la excepción de $\forall x(Sx \neq 0)$ se sustituye $\exists x(Sx=0)$. MA es $\omega$-incoherente y todos los infinitos modelos de MA tiene elementos no convencionales.
Me han estado tratando de averiguar si cada infinita modelo de MA es un segmento inicial de algunos modelo de PA. Creo que la respuesta es no, pero la definición de segmentos inicial de la PA parece ser la forma por encima de mi cabeza. Cada infinita modelo de MA tiene un subconjunto que es un segmento inicial de un modelo de PA. PA sería incoherente si algún segmento inicial de la PA es de primer orden definible en cualquiera de PA o MA.
Esto me empecé a pensar acerca de los segmentos inicial de MA. Parece obvio que cada modelo de MA tiene todos los "más pequeños" modelos de MA como definibles subconjuntos (definible en el meta-teoría). Por ejemplo, el trivial anillo es un segmento inicial de cada modelo de MA porque el trivial anillo satisface todos los axiomas de MA. Para finito de modelos de MA, los anillos de $\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$, cada segmento inicial es único. No es exactamente un modelo para cada una de las $n$.
Los números algebraicos, $\mathbb{A}$, es un countably infinito modelo de MA. Deje $\mathbb{M} = \mathbb{Z} /x \mathbb{Z}$ ser un modelo de massachusetts, donde x es un incontable no estándar número. Sería $\mathbb{A}$ ser un segmento inicial de $\mathbb{M}$?
Sé que no soy supongo que para hacer más de una pregunta, pero yo estaría interesado en todo lo que puede decirse acerca de los segmentos inicial de MA. Por ejemplo, son segmentos inicial de MA de primer orden definible?
Edición en respuesta a Lawrence Wong preguntas.
El fin no puede ser definido en MA de la misma manera que en el PA. En la PA se puede decir $x \leq y \rightarrow \exists z(y = x+z)$. Esta definición no funciona en MA. MA tiene un discreto orden cíclico. Esta orden se define por el sucesor relación. Con un orden cíclico, podemos definir [a,b,c] que significa "aplicar repetidamente sucesor a un alcance b antes de c". Desde que estoy trabajando en primer orden, estoy bastante seguro de que [a,b,c] sólo es definible cuando a, b, y c son de un número finito de distancia el uno del otro.
No sé mucho acerca de los segmentos inicial, que es por qué estoy haciendo esta pregunta. Yo oouldn no encontrar una definición en la red. Creo que un segmento inicial es un subconjunto del modelo que satisface los axiomas. El estándar de números naturales son un subconjunto de todos los modelos de PA por lo que son un segmento inicial de cada modelo de PA. Un incontable no estándar modelo tendría un montón de contable inicial de los segmentos. Segmentos inicial puede ser cerrado bajo sucesor y no la suma o cerrada en ambos sucesor y, además, etcétera.
Creo que también están autorizados a realizar transformaciones en el modelo. El modelo más pequeño de MA es la trivial anillo. Otro modelo de MA, $\mathbb{M}$, puedo asignar a cada elemento de a$\mathbb{M}$$0$. A continuación, puedo demostrar que el modelo satisface los axiomas en virtud de esta transformación demostrando {0} es un segmento inicial de la modelo.
El sucesor relación está definida por los axiomas. $\forall x(Sx=x+S0)$ es un teorema de ambas MA y PA. El sucesor debe ser $Sx=x+1$. Esto define un orden cíclico en los números algebraicos. Claramente, este no es el mismo como el "estándar" de ordenar. Voy a estar haciendo algunas preguntas sobre esto pronto. No creo que los números algebraicos son un modelo de MA, pero la gente más inteligente de lo que me han dicho que cualquier algebraicamente cerrado de campo es un modelo de MA.
