la prueba de forma fácil (?) la desigualdad

Question

Espero que alguien me puede ayudar a dar una sugerencia o algo para mi la desigualdad, que estoy tratando de resolver ahora por algunos días. Quiero mostrar que la $$\frac{2}{\sqrt{\vphantom{\large A}1+c}}\ \leq\ \frac{1}{\sqrt{1+c\,\left(\frac{c\ +\ \sqrt{\vphantom{\Large A}c^{2}\ -\ 4\,}\,}{\vphantom{\Large A}2}\right)^{3}}} + \frac{1}{\sqrt{1+c\,\left(\frac{c\ -\ \sqrt{\vphantom{\Large A}c^{2}\ -\ 4\,}\,}{\vphantom{\Large A}2}\right)^{3}}}\,,\quad \forall\ c \geq 2$$

De conspirar su fácil para ver y Mathematica/Maple también me dio la solución c>2, pero eso no es una prueba real. Sin embargo de esto, creo que debe haber una manera de demostrarlo.

Además de simplemente tratando de mostrar la desigualdad he intentado mostrar que la diferencia de estos términos es una función inyectiva (para c=2 no es la igualdad, que es un problema para muchas aproximaciones). Sin embargo, los términos resultantes realmente no consigue más fácil de manejar... Aparte de eso he intentado utilizar algunos meanvalue las desigualdades de la media armónica, media geométrica, media cuadrática. El problema es que la inequalitiy entre HM y GM ya es demasiado áspero.

Así que en el momento estoy bastante atascado y sentir de ideas de cómo abordar el problema. Sería muy bueno si alguien tiene algunas ideas (espero que no necesitan una solución completa :) )

P. S.: por favor, disculpe mi mal inglés, yo no soy un hablante nativo.

Answer 1

Deje $c=e^x+e^{-x}$. A continuación,$\sqrt{c^2-4} = e^x-e^{-x}$, por lo que

$$1+c(\frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2})^3=1+c(\frac{e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x}}{2})^3=1+(e^x+e^{-x})e^{3x}=1+e^{2x}+e^{4x}$$

y

$$1+c(\frac{c-\sqrt{c^2-4}}{2})^3=1+c(\frac{e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x}}{2})^3=1+(e^x+e^{-x})e^{-3x}=1+e^{-2x}+e^{-4x}=e^{-4x}(1+e^{2x}+e^{4x})$$

A continuación, el lado derecho es

$$\frac{1+e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}+e^{4x}}}$$

Ahora a probar la desigualdad en la plaza de los dos lados, de la cruz se multiplican, y tomar la diferencia. El resultado es un polinomio en a $e^x$ y el factor de bien. Mathematica me dice que es

$$ e^{-x}(e^x-1)^4(1+e^x+e^{2x})$$

lo cual es positivo.