Encuentra el valor.

Question

Usando el Teorema del residuo calcular $$ \int_0^{\infty} \frac{x^{a-1}\,\mathrm{d}x}{1+x^{2}},\,\,\,\, \text{where}\,\,\,0 $$ \frac{\pi}{2}[i^{a-1}-(-i)^{a-1}]$$

Cómo proceder de aquí, ya que la solución de una expresión racional debe ser independiente del $i$

Answer 1

Me imagino que han integrado la $\,\,f(z)=\dfrac{z^{a-1}}{z^2+1},\,$ a lo largo del contorno $\,\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma_3\cup\gamma_4,\,$ donde $$ \gamma_1=[-R,-\varepsilon],\quad\gamma_2=\{\varepsilon\mathrm{e}^{i(\pi-t)}: t\[0,\pi]\},\quad \gamma_3=[\varepsilon,R],\quad\gamma_4=\{R\mathrm{e}^{es}: t\[0,\pi]\}. $$ En tal caso $$ z^{- 1}=\mathrm{e}^{(a-1)\log z}, $$ donde $\log z$ es una rama del logaritmo definido en $$ \Omega=\mathrm{C}\setminus \{: t\(- \infty,0]\}, $$ de la siguiente manera. Si $z=r\mathrm{e}^{i\vartheta}$,$\log z=\log r+i\vartheta$, con $$ \vartheta\(- \pi/2,3\pi,2). $$ Así que, en tal caso, el Residuo Teorema proporciona $$ \int_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\,\mathrm{Res}\left(\frac{z^{- 1}}{1+z^2},i\right)=2\pi i\cdot\frac{i^{- 1}}{2}=\pi\mathrm{e}^{i(a-1)\pi/2}=-i\pi \mathrm{e}^{ia\pi/2}. $$ Claramente $$ \lim_{R\to\infty,\,\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_1}f(z)\,dz= \int_{-\infty}^0\frac{z^{a-1}}{z^2+1}=(-1)^{a-1}\int_0^\infty\frac{x^{a-1}\,dx}{1+x^2}=-\mathrm{e}^{ia\pi}\int_0^\infty\frac{x^{a-1}\,dx}{1+x^2}, $$ desde $(-1)^{a-1}=\mathrm{e}^{i(a-1)\pi}=-\mathrm{e}^{ia\pi},\,$ y $$ \lim_{R\to\infty,\,\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_3}f(z)\,dz= \int_0^{\infty}\frac{z^{- 1}}{z^2+1}=\int_0^\infty\frac{x^{- 1}\,dx}{1+x^2}. $$ Mientras tanto, $\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_2}f(z)\,dz=0$ y $\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_4}f(z)\,dz=0$. Por lo tanto, en total $$ (1-\mathrm{e}^{ia\pi})\int_{0}^\infty\frac{x^{- 1}\,dx}{1+x^2}= \lim_{\varepsilon\0,\,\,I\to\infty}\int_\gamma f(z)\,dz= 2\pi i\,\mathrm{Res}\left(\frac{z^{- 1}}{1+z^2},i\right) =-i\pi \mathrm{e}^{ia\pi/2}. $$ Por lo tanto $$ \int_{0}^\infty\frac{x^{- 1}\,dx}{1+x^2}=\frac{i\pi \mathrm{e}^{ia\pi/2}}{\mathrm{e}^{ia\pi}-1}=\frac{i\pi }{\mathrm{e}^{ia\pi/2}-\mathrm{e}^{-ia\pi/2}}=\frac{\pi}{2\sin (\pi/2)}. $$

Answer 2

En esta respuesta, se muestra que para $m\gt0$ y $-1<n a="" conseguir="" enchufe="" m="" n="" para="" que="" un="" x="" y=""></n>