$\langle \Bbb Q,<\rangle$ es un elemental submodel de $ \langle \Bbb R,< \rangle$

Question

Estoy tratando de mostrar que $\langle\Bbb Q,<\rangle$ es un elemental submodel de $\langle\Bbb R,<\rangle$.

Yo al principio se creyó que este problema es bastante trivial $-$ pensé que todo lo que necesitaba hacer era mostrar que $\langle\Bbb Q,<\rangle$ $\langle\Bbb R,<\rangle$ son elementarily equivalente (que sigue ya que ambos son densos lineal órdenes sin punto final) y, a continuación, decir que $\Bbb Q$ es, obviamente, contenida en $\Bbb R$. Sin embargo, ahora estoy empezando a cuestionarme después de examinar las definiciones más estrechamente, en particular aquellos relacionados con este post.

En otras palabras, no es suficiente para mostrar que los dos modelos son elementarily equivalente, y un submodel de los otros cuando tratando de mostrar que uno es un elemental submodel de los otros?

Answer 1

Otra manera de mostrar el hecho es que la teoría de la $\bf Q$, la teoría de la densa lineal órdenes sin extremos, está satisfecho por $\bf R$ y elimina los cuantificadores.

Si una teoría de la $T$ elimina los cuantificadores, entonces es cierto que si tenemos dos estructuras de $M\subseteq N$ satisfaciendo $T$, $M\preceq N$ (que sigue del hecho de que el cuantificador libre de fórmulas son absolutos, que es un ejercicio fácil).

Por lo tanto, cuando usted tiene un modelo de $M$ tal que $\operatorname{Th}(M)$ elimina los cuantificadores, y $M$ es un submodel de $N$, a continuación, mostrar que es elemental es suficiente para demostrar que son elementarily equivalente.

En general, $M\subseteq N\wedge M\equiv N$ es estrictamente más débil de lo $M\preceq N$ (como he comentado en el otro post con el ejemplo,$M=(2{\bf Z},+),N=({\bf Z},+)$).

Answer 2

Deje $\varphi(x,u_1,\dots,u_n)$ ser una fórmula de la lengua, y supongamos que $\exists x\varphi(x,r_1,\dots,r_n)$ que es verdad en los racionales, para determinados racionales $r_1,\dots,r_n$. Luego por la integridad de la teoría, si dejamos $S$ ser el conjunto finito de orden de las relaciones entre el $r_i$, luego $$\forall u_1\cdots \forall u_n\left(S(u_1,\dots,u_n)\longrightarrow \exists x\varphi(x,u_1,\dots,u_n)\right)$$ es cierto en los racionales, y por lo tanto en los reales. Por lo tanto $\exists x\varphi(x,r_1,\dots,r_n)$ que es verdad en los reales. El resto se sigue de Vaught de la Prueba.

Answer 3

No, no es suficiente para mostrar primaria de equivalencia y que uno es un subconjunto de la otra.

Lo que hay que mostrar es que el $$\mathbf{Q} \models \sigma \iff \mathbf{R} \models \sigma$$ para cualquier $\mathcal{L}_{\mathbb{Q}}$-sentencia de $\sigma$. (donde $\mathcal{L}_{\mathbb{Q}}$ es la extensión de $\mathcal{L}$ con los nombres de todos los elementos de a $\mathbb{Q}$ añadido en)

EDIT: Para el problema de mostrar $\mathbf{Q} \preceq \mathbf{R}$ recomendaría primero que muestra el siguiente lema:

Si $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$, y para cada subconjunto finito $K \subseteq A$ $b\in B$ hay un automorphism $f$ $\mathbf{B}$ que corrige $K$ $f(b) \in A$ $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$