El subespacio invariante del espacio cíclico es cíclico

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y sea $T:V\rightarrow V$ sea un operador lineal cíclico, es decir, existe $v \in V$ tal que $\{v, Tv, T^2v, \dots\}$ genera $V$ .

Dejemos que $W\subset V$ ser un $T$ -invariante del subespacio, es decir, $T[W]\subset W$ . Estoy tratando de ver que $T|W$ también es $T|W$ -cíclico, es decir, existe un $w \in W$ tal que $W=\langle w, Tw, T^2w, \dots\rangle$ .

Answer 1

Vamos a escribir $W=<w_{1},\dots,w_{r}>$ .

Desde $v$ es un vector cíclico de $V$ existe $p_{1},\dots,p_{r}\in K[X]$ tal que $w_{i}=p_{i}(T)v$ .

Lo tenemos: $W=<w_{1},\dots,w_{r}>=\{(q_{1}p_{1}+\dots +q_{r}p_{r})(T)v:q_{1},\dots,q_{r}\in K[X]\}$ (una afirmación es obvia; la otra ocurre porque $W$ es $T$ -invariante).

Ahora, $\{q_{1}p_{1}+\dots+q_{r}p_{r}:q_{1},\dots,q_{r}\in K[X]\}=<d>_{K[X]}$ , donde $d=gcd(p_{1},\dots,p_{r})$

Entonces, $W=\{q(T)(d(T)v):q\in K[X]\}$ y $d(T)v$ es un generador cíclico de $W$

Answer 2

Yo tendería a pensar en esto en términos del siguiente hecho.

Es un hecho: El polinomio mínimo $p$ de una transformación lineal $T: V \to V$ siempre satisface $\deg(p) \leq \dim(V)$ y la igualdad se mantiene precisamente cuando $T$ es cíclico.

Si $T:V \to V$ es una transformación lineal y $W \subset V$ es un $T$ -subespacio invariable, entonces $T$ desciende a un mapa en el cociente $V/W \to V/W$ . Sea $p_V,p_W$ y $p_{V/W}$ denotan los polinomios mínimos de $T$ la restricción de $T$ a $W$ y el mapa $T$ induce en $V/W$ . Tenga en cuenta que $$\begin{align}\deg(p_W) + \deg(p_{V/W}) \geq \deg(p_V) && && (1)\end{align}$$ porque $p_W \cdot p_{V/W}$ es un polinomio mónico de grado $\deg(p_W) + \deg(p_{V/W})$ aniquilando $T$ mientras que $p_V$ es, por definición, el único polinomio mónico de menor grado posible que aniquila $T$ . Para ver $p_W \cdot p_{V/W}$ aniquila $T$ , retirar $p_{V/W}(T)$ es cero, como un mapa de $V/W$ y así $p_{V/W}(T) v \in W$ para cualquier $v \in V$ . Así, $p_W(T) \cdot p_{V/W}(T) v = 0$ para cualquier $v \in V$ y hemos terminado.

Si $T$ es cíclico, entonces el mapa que induce sobre $V/W$ es claramente cíclico también; si $v \in V$ es cíclico para $T$ entonces $v+W$ es cíclico para el mapa en el cociente. Entonces, a partir del hecho y de la desigualdad (1), obtenemos $$\deg(p_W) \geq \deg(p_V) - \deg(p_{V/W}) = \dim(V) - \dim(V/W) = \dim(W)$$ que, de nuevo por el hecho, nos dice que $\deg(p_W) = \dim(W)$ por lo que la restricción de $T$ a $W$ también es cíclico.

Answer 3

En primer lugar, pido disculpas por una respuesta anterior muy incorrecta.

Dejemos que $f(x)$ sea el polinomio mínimo de $T$ sobre el campo subyacente $F$ .

Como se señala en otra respuesta (con la que está relacionada), $T$ es cíclico si el grado de $f(x)$ es igual a la dimensión de $V$ .

Entonces, como espacio vectorial $V \cong F[x]/(f(x))$ donde la acción de $T$ en $V$ se corresponde con la multiplicación por $x$ a la derecha. Así, un $T$ -subespacio invariable de $V$ corresponde a un $F[x]$ -submódulo de $F[x]/(f(x))$ .

Desde $F[x]$ es un PID, el teorema de correspondencia implica que $W$ corresponde a un submódulo $(g(x))/(f(x))$ , donde $g \mid f$ . Es evidente que este módulo también es cíclico, generado por $g(x)$ .

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En $V$ esto significa lo siguiente. Como se indica en la otra respuesta , $T$ también es cíclico en $V/W$ . Sea $g$ sea el polinomio mínimo de (el mapa inducido en $V / W$ por) $T$ . Entonces $W$ es cíclico, generado por $g(T) v$ .