Si $\prod\limits_{k=0}^5(5^{2^k}+6^{2^k})=6^x-5^y$, ¿cuál es el valor de $x-y$?

Question

Creo que esto podría ser un concurso de matemáticas pregunta, así que estoy etiquetado como tal.

No sé cómo hacer algo como esto por la mano (o si es incluso posible que, a pesar de que yo sería presumir es si es de un concurso de examen). Escribí un guión en Mathematica para determinar la respuesta. Aquí está el código:

t = Table[6^x - 5^y, {x, 1, 200}, {y, 1, 200}];
For[m = 1, m <= 200, m++,
  For[n = 1, n <= 200, n++,
    If[t[[m, n]] == %1, Print[{m, n}]];
     ];
   ];

(donde $\%1$ denota la calculada producto, aproximadamente $6.33\times10^{49}$) que devuelve $\{64,64\}$, y por lo $x-y=0$. ¿Cómo puedo hacer esto sin la ayuda de un software?

Answer 1

Utilice el hecho de que $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

Multiplicando $(6-5)$ sobre su lado izquierdo, se obtiene: $$\prod\limits_{k=0}^5(5^{2^k}+6^{2^k})=(6-5)\prod\limits_{k=0}^5(5^{2^k}+6^{2^k})$$ $$=(6^2-5^2)\prod\limits_{k=1}^5(5^{2^k}+6^{2^k})=(6^4-5^4)\prod\limits_{k=2}^5(5^{2^k}+6^{2^k})=...$$

Iterar por todos los términos en los productos, usted debe obtener la $x=y=2^6=64$, lo $x-y=0$

Answer 2

Cada factor del producto con exponente $2^k$ es igual a la diferencia con exponente 2^(k+1) dividido por la diferencia con el mismo exponente del factor (debido a un estudioso de la identidad con plazas). A continuación, el producto que finalmente da la ecuación 6^(64) - 5^64 = $6^x$ - $5^y$.

ADVERTENCIA: es evidente que existe una solución x = y, pero no es la única! Vamos a un arbitrario N = $6^x$ - $5^y$ y tomar "porque queremos" y = 2, entonces tenemos una solución única x de N + 25 = $6^x$ que no es x = 2. En realidad, hay infinitamente muchas soluciones para arbitrario N positiva, dicen.