Estoy teniendo problemas con demostrar este teorema: Un espacio métrico separable iff es homeomórficos a una totalmente acotado espacio métrico. Hay un enlace en la Wikipedia para reservar por S. Willard, pero se afirma como un hecho de dejar que sea el lector como ejercicio para demostrarlo. Cualquier ayuda se agradece.
Respuesta
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En primer lugar, usted tiene razón en que una totalmente acotado espacio métrico es automáticamente separables, por lo que no hay necesidad de ir a través de la realización: la unión de finito $2^{-n}$-redes para $n\in\omega$ es una contables subconjunto denso.
Supongamos ahora que $\langle X,d\rangle$ es un espacio métrico separable. Sin pérdida de generalidad supongamos que $d(x,y)\le 1$ todos los $x,y\in X$, y deje $D=\{x_n:n\in\omega\}$ ser un subconjunto denso de $X$. Definir el mapa
$$f:X\to[0,1]^\omega:x\mapsto\big\langle d(x,x_n):n\in\omega\big\rangle\;.$$
Ahora muestran que $f$ es una incrustación de $X$ en el compacto metrizable espacio de $[0,1]^\omega$, el cubo de Hilbert; siendo compacto, el cubo de Hilbert es totalmente acotado en cualquier compatible métrica, y el total de acotamiento es hereditario, por lo $f[X]$ es totalmente acotado en cualquier métrica heredado de $[0,1]^\omega$.
