Acabo de enfrentarme a una desigualdad de aspecto evidente, pero no he conseguido demostrarlo. Sea $H$ sea un espacio de Hilbert de dimensión finita, $M, \rho$ operadores positivos en $H$ , $P$ un proyector ortogonal sobre $H$ . ¿Es cierto que $\text{tr}(M \rho) \geq \text{tr}(M P \rho P)$ ? Si es así, ¿cómo se puede demostrar? En caso negativo, ¿cuál sería un contraejemplo?
Una condición algo más débil, pero suficiente, sería que $\langle M v, v \rangle \geq \langle PMPv, v \rangle \quad \forall v \in H$ pero aún no puedo probarlo.
Gracias por cualquier ayuda.
