el discriminante de la cyclotomic $\Phi_p(x)$

Question

Soy muy mala en los cálculos de este tipo :/. No sé trucos para calcular el discriminante de un polinomio, sólo la definición y el uso de la resultante, pero es muy complicado hacer sólo con que herramientas. Necesito un poco de ayuda por favor ._.

Tengo que demostrar que el discriminante de $\Phi_p$ $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}p^{p-2}$ No sé si es necesario suponer que $p$ es primo.

Answer 1

En lo que sigue voy a suponer que $p$ es una extraña prime. Deje $\zeta$ ser una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad y denotan sus conjugados por $\zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}$, por lo que tenemos $$\Phi_p(X) = \frac{X^p-1}{X-1} = \prod_{i=1}^{p-1} (X-\zeta_i).$$ El discriminante de $\Phi_p$, entonces se puede calcular como $$\Delta = \prod_{i<j} (\zeta_i - \zeta_j)^2 = (-1)^{(p-1)/2} \prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j).$$ Tenga en cuenta que $$\Phi_p'(X) = \sum_i \prod_{j\neq i} (X-\zeta_j),$$ así $$\prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j) = \prod_i \Phi_p'(\zeta_i) = N_{\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q}(\Phi_p'(\zeta)).$$ Para calcular esta norma, tomamos la derivada de ambos lados de $$(X-1)\Phi_p(X) = X^p-1,$$ conecte $\zeta$ y adoptar normas para obtener $$N(\zeta-1) N(\Phi_p'(\zeta)) = N(p \zeta^{-1}) = p^{p-1}.$$ La norma $N(\zeta-1)$ está dado por $$N(\zeta-1) = \prod_i (\zeta_i - 1) = \prod_i (1 -\zeta_i) = p$$ como vemos, estableciendo $X = 1$ en $$\Phi_p(X) = \prod_i (X-\zeta_i) = 1 + X + \ldots + X^{p-2}.$$ En conjunto, esta muestra $$\Delta = (-1)^{(p-1)/2} p^{p-2}.$$