Cuando se $(p - 1)! + 1$ un poder de $p$?

Question

Un amigo me preguntó:

Si $p$ es un número primo, demostrar que $(p - 1)! + 1$ es una potencia de $p$ si y sólo si $p = 2, 3$ o $5$.

Claramente una dirección es obvio, a saber, que el $p=2,3,5$ implica $(p - 1)! + 1$ es una potencia de $p$.

La otra dirección no está claro para mí. Ya que por Wilson del teorema $p$ divide $(p - 1)! + 1$, por lo que tenemos que mostrar que, si no hay otros factores primos, a continuación,$p=2,3,5$. Alguien puede darme una pista para el establecimiento de este?

Gracias

Answer 1

No estoy seguro si es sólo una sugerencia, sería de ayuda, usted podría tratar de usar más pistas según sea necesario. En primer lugar, la declaración tiene para todos los números naturales $n \notin \{2, 3, 5\} $, no sólo por los números primos. Una manera de proceder es mostrar que para $n > 5$:
1) $n$ no puede ser, incluso, si se cumple la ecuación
2) por $n$ impar, $(n-1)^2 \space | \space (n-1)!$
3) de (2) anterior, y de la ecuación dada, mostrar $(n-1) \space | \space k$, lo que implica $n-1 \le k$
4) demostrar que $\forall n > 2, (n-1)! < n^{n-1} - 1$

Espero que ayude!