¿Distancia recorrida por un objeto frenado sólo por la resistencia?

Question

Supongamos que lanzo un objeto horizontalmente desde un acantilado con una altura fija, y conozco el tiempo que tarda en caer. Quiero saber qué distancia recorre, pero tiene una aceleración en sentido contrario a la velocidad inicial debido a la resistencia del aire. Por tanto, integré la velocidad con respecto al tiempo; en este caso, la velocidad en función del tiempo era igual a v0 - at. Bien, ¿qué es la aceleración (en este caso)? Investigué la resistencia del aire, y resulta que depende del área, de algún coeficiente, de la densidad del aire y... de la velocidad instantánea... Como estudiante de secundaria que sólo ha hecho cálculo básico, esto me confunde. ¿Tengo que aprender ecuaciones diferenciales de segundo orden antes de poder resolver esto, o me estoy perdiendo algo básico? Cualquier ayuda sería muy apreciada, y perdón por preguntar algo tan básico como esto :(.

Answer 1

No es una pregunta tonta, y en realidad es imposible responderla analíticamente (para el caso de la resistencia cuadrática con velocidad horizontal y aceleración vertical).

He aquí algunas cosas básicas que le ayudarán a pensar en esto:

• La fuerza de arrastre apunta en la dirección opuesta a la velocidad
• porque la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad al cuadrado, la velocidad horizontal aumenta la resistencia vertical (!)
• La ecuación puede ser desalentadora, hasta que te das cuenta de que básicamente está diciendo "la fuerza de arrastre es la fuerza necesaria para mover todo el aire que mi proyectil atraviesa"

La ecuación es

$$F = \frac12 \rho v^2 A C_D$$

Si tiene una zona (de frente) de $A$ Entonces, cada segundo te mueves a través de una columna de aire de volumen $V = Av$ donde $v$ es la velocidad. La masa de esta columna es $m = \rho V = \rho A v$ . Si mueves todo ese aire a la velocidad de tu proyectil, éste adquiere un impulso de $p = mv = \rho A v^2$ . Esto empieza a parecerse mucho a tu ecuación de arrastre. Sólo necesitamos el factor $\frac12 C_D$ para tener en cuenta la forma en que se mueve realmente el aire (no se trata simplemente de "mover toda la columna de aire a la velocidad del proyectil") y ya está.

Para calcular la trayectoria tendrás que utilizar la integración numérica. Se calcula la resistencia inicial a partir de la velocidad inicial. Esto te permite calcular la aceleración instantánea (no olvides la gravedad); deja que esta aceleración actúe durante un tiempo muy corto, y calcula las nuevas componentes (horizontal y vertical) de la velocidad. A partir de la velocidad calcula el desplazamiento. Repite la operación para el siguiente paso de tiempo.

Actualización

He decidido escribir un sencillo script en Python que demuestre el enfoque. Cuando se ejecuta con A=0 (efectivamente no hay arrastre) se puede comparar el resultado con la solución analítica - esto muestra que la integración funciona correctamente. Cuando se añade un arrastre "realista", se puede calcular la trayectoria para cualquier otra configuración. Como siempre, mi código viene sin garantía ("no es necesariamente un ejemplo de buena codificación, no está totalmente probado, no hay comprobación de errores, etc..."). Que lo disfrutes.

# example of numerical integration of projectile motion in 2D
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sin, cos, atan2, pi, sqrt

# constants
rho = 1.22 # density of medium
g = 9.81   # acceleration of gravity

# projectile properties
A = 0.05  # cross sectional area
Cd = 0.5  # drag factor
m = 0.1   # mass

# initial velocity & angle (radians)
v = 10.      # m/s
theta = pi/4

# initial position, velocity, time
x = 0.
y = 5.    # height above target surface
vx = v * cos(theta)
vy = v * sin(theta)
vx_init = vx
t = 0.

# storage for the result
X = [x]
Y = [y]

# step size
dt = 0.01

def drag(v, theta):
    F =0.5*rho*v*v*A*Cd
    return (F*cos(theta), F*sin(theta))

while ((y>0) | (vy>0)):
    # instantaneous force:
    Fx, Fy = drag(v, theta)
    # acceleration:
    ax = -Fx/m
    ay = -Fy/m - g
    # position update:
    x = x + vx*dt + 0.5*ax*dt*dt
    y = y + vy*dt + 0.5*ay*dt*dt
    # update velocity components:
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    # new angle and velocity:
    v = sqrt(vx*vx+vy*vy)
    theta = atan2(vy,vx)
    # store result for plotting:
    X.append(x)
    Y.append(y)
    t = t + dt

# adjust last point to Y=0 - we may have "overshot":
ft = Y[-2]/(Y[-2]-Y[-1]) # fractional time to last point
X[-1] = X[-2] + (X[-1]-X[-2])*ft
Y[-1] = 0.
t = t - (1-ft)*dt

print('Total flight time: %.3f sec\n'%t)
print('Total distance: %.2f m'%X[-1])
print('Initial horizontal velocity: %.2f m/s'%vx_init)
print('Final horizontal velocity: %.2f m/s'%vx)
plt.figure()
plt.plot(X,Y)
plt.title('projectile motion')
plt.xlabel('X position')
plt.ylabel('Y position')
plt.show()

Y un ejemplo de la salida de lo anterior:

Answer 2

He borrado mi respuesta original a raíz de un comentario de @Floris en el sentido de que para el arrastre que depende del cuadrado de la velocidad los movimientos verticales y horizontales no son independientes entre sí.

Según esto papel las ecuaciones de movimiento que hay que resolver en este caso son:

$a_{\rm x}=-kv_{\rm x}v$ y $a_{\rm y}=g-kv_{\rm y}v$ donde $v^2= v_{\rm x}^2+ v_{\rm y}^2$ que sólo puede hacerse numéricamente.

Answer 3

En presencia de arrastre, las ecuaciones de Newton incluyen un término proporcional a v. $dv/dt = g/m - kv$ cuyas soluciones son la solución general de la ecuación homogénea ( con g=0) más una solución particular (obtenida al pasar al tiempo infinito, cuando dv/dt= 0). Hagámoslo. Solución general de $dv/dt = -kv$ es $v/v_\infty= e^{-kt}$ .

Solución particular: $dv/dt = 0$ o $v_{part} = gm/k$ Ahora $v=gm/ke^{-kt} + gm/k$ . Compruébalo: $dv/dt = gm/k(-ke^{-kt}) = -gme^{-kt}= -kv+ gm$ como se esperaba. ¿Cuál es la velocidad en t=0? $v_0 = gm/k + gm/k= 2gm/k$