Bases para funciones racionales adecuadas

Question

Supongamos que $F$ es un campo, y sea $F(x)$ denotan el $F$ -espacio vectorial de todas las funciones racionales $\frac{f(x)}{g(x)}$ donde $f,g\in F[x]$ son polinomios, con $g$ diferente de cero. Sea $F(x)_p$ denotan el subespacio de F(x) de todas las fracciones propias, es decir, todas las $\frac{f(x)}{g(x)}$ donde grado( $f$ ) $<$ grado( $g$ ). Demuéstralo:

(a) $F(x)$ es isomorfo a $F[x]\oplus F(x)_p $ como $F$ -espacio vectorial.

(b) Si $\mathcal{I}=\{p(x)\in F[x] \mid p \text { is a monic irreducible polynomial}\}$ entonces

$$\beta= \{\frac{x^{j}}{p(x)^{k}} \mid p(x)\in \mathcal{I}, 0\leq j< \text{degree}(p); k\geq 1 \} $$ es una base para $F(x)_p$ como $F$ -espacio vectorial.

He terminado con la parte (a), pero no sé cómo proceder en la parte (b). ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Se trata de fracciones parciales.

$M=F(x)/F[x]$ es una torsión $F[x]$ -módulo. Dado que $F[x]$ es un PID, $M$ es la suma directa de sus $p(x)$ -componentes primarios, para polinomios irreducibles $p(x) \in F[x]$ . Demuestre que cualquier elemento de $F(x)/F[x]$ que es aniquilado por un poder de $p$ por puede representarse de la forma $r(x)/p(x)^n$ y utilícelo para demostrar que los elementos que ha anotado forman una base de la $p(x)$ -componente principal de $F(x)/F[x]$ .