En Introducción a la Teoría de números clave lema es que si $a$ $b$ son enteros primos relativos, entonces no existen números enteros $x$ $y$ tal que $ax+by=1$. En un estadio más avanzado del curso en su lugar sería utilizar el teorema de que los números enteros son un PID, es decir, que todos los ideales son principales. Entonces el viejo lema puede ser usado para demostrar que "cualquier ideal generado por dos elementos es el hecho principal". La inducción, a continuación, dice que cualquier finitely generado ideal es principal. Pero, ¿y si todo finitely generado ideales son principales pero hay unos ideales que no son finitely generado? Puede suceder?
Respuestas
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Si no me equivoco, la integral de dominio de holomorphic funciones conectado a un conjunto abierto de $U \subconjunto \mathbb{C}$ works. It is a theorem (in Chapter 15 of Rudin's Real and Complex Analysis, and essentially a corollary of the Weierstrass factorization theorem), that every finitely generated ideal in this domain is principal. This implies that if $a,b$ have no common factor, they generate the unit ideal. However, for instance, the ideal of holomorphic functions in the unit disk that vanish on all but finitely many of ${1-\frac{1}{n}}$ es nonprincipal.
lhf
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Lorin Hochstein
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El más fácil de ejemplo que conozco es el anillo de todos los enteros algebraicos (raíces de monic polinomios con coeficientes enteros). Como se señaló, es un Bezout de dominio, por lo que cada finitely generado ideal es principal, y, en particular, para cada par de enteros algebraicos $a$ $b$ existen enteros algebraicos $\alpha$ $\beta$ tal que $\alpha a+\beta b = d$ donde $d$ es un mcd de a$a$$b$. Sin embargo, el ideal de $(2, 2^{1/2}, 2^{1/4}, 2^{1/8}, \ldots, 2^{1/2^{n}},\ldots)$ no es principal, por lo que el anillo no es un PID.
letronje
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Cómo sobre esta construcción:
Definir un dominio $R_0$ como sigue. Tome un campo $K$, contiguos a una indeterminada $x_0$, y se localizan en $(x_0)$ (es decir, se acuestan inversos a todo lo que no es un múltiplo de a $x_0$).
$R_0$ tiene todos sus ideales principales y linealmente ordenado: $(x_0)$ contiene $(x_0^2)$ contiene $(x_0^3)$...
Ahora, dada $R_i$, definir $R_{i+1}$ inductivamente: Contiguos a una indeterminada $x_{i+1}$, por lo que tenemos $R_i[x_{i+1}]$. Cociente por $(x_{i+1}^2 - x_i)$. Finalmente, se localizan en el primer ideal $(x_{i+1})$.
De esta forma, sólo nos da uno de los principales más ideal que contiene todos los principales ideales de $R_i : (x_{i+1})$ contiene $(x_{i+1}^2)=(x_i)$ contiene $(x_i^2)$...
Ahora vamos a $R$ ser la unión de todos los $R_i$, y es obvio que cualquier finitely generado ideal es principal, pero hay un no-fg generado por todas las $x_i$.
Bryan Roth
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Nota: para conocer más acerca de Bézout dominios, ver p.ej.
La sección 8.2 de http://math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf
o
Sección 12.4 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
