Dos problemas de teoría de números

Question

Necesito algunas ideas (preferible algunos trucos) para la solución de estos dos problemas:

Encontrar el mayor número de $n$ tal que $(2004!)!$ es divisible por $((n!)!)!$

Para que entero $n$ $2^8 + 2^{11} + 2^n$ un cuadrado perfecto?

Para el segundo, la propuesta de solución es la siguiente : $ 2^8 + 2^{11} + 2^n = ((2^4)^2 + 2\times2^4\times2^6 + (2^ \frac{n}{2})^2 ) \Rightarrow n=12$

Pero no puedo entender el enfoque,alguna idea?

Answer 1

Una manera de hacer el segundo problema es el siguiente. Compruebe los valores pequeños de a $n<8$ a mano (no hay nada). A continuación, supongamos que $n\ge8$. Ahora $2^8+2^{11}+2^n=2^8(1+8+2^{n-8})$ es un cuadrado perfecto, si el último factor $9+2^{n-8}$ es un cuadrado perfecto también. Pero $$ 9+2^{n-8}=m^2\Leftrightarrow 2^{n-8}=m^2-9=(m-3)(m+3). $$ Así que la única factorización tanto $m-3$ $m+3$ debe ser potencias de dos. La diferencia entre estos dos factores es de 6, y las diferencias entre las potencias de 2 son más de 6, a menos que ambos poderes son, en la mayoría de los 8. La única solución es, pues,$m=5$, $n=12$.

Answer 2

Si $n=7$$n!=5040\gt2004$, así que....

Si $n=6$$n!=720\lt2004$, así que....

Answer 3

En cuanto a la primera pregunta,

Si $a!\leq b!$,

a continuación,$a\leq b$.

Así que aquí,

$((n!)!)!\leq (2004!)!$, implica $(n!)!\leq 2004!$,

lo cual implica, además,$n!\leq 2004$,

por lo tanto,$n\leq 6$.

P. S edit: no veo que la solución ya estaba publicado.