Fuerte continuidad del cálculo funcional de Borel

Question

A veces he escuchado que el cálculo funcional de Borel mapea secuencias acotadas y convergentes puntualmente de funciones de Borel a secuencias de operadores que convergen fuertemente. Entiendo que "secuencia" es importante aquí, debido al aspecto teórico de la medida, no podemos usar redes. Pero, ¿por qué debe converger fuertemente? Solo estoy familiarizado con el resultado de la convergencia débil.

Answer 1

$\def\norm#1{\left\|#1\right\|}\def\skp#1{\left<#1\right>}$Supongamos que $T \in L(X)$ es un operador normal en el espacio de Hilbert $X$ y $f_n$, $f \colon \mathbb C \to \mathbb C$ son funciones acotadas y medibles tales que $\sup_n \|f_n\|_\infty<\infty$ y $f_n \to f$ puntualmente. Como se observa, tenemos que $f_n(T)x \rightharpoonup f(T)x$ débilmente para cada $x \in H$. Además, tenemos $$\begin{align*} \norm{f_n(T)x}^2 &= \skp{f_n(T)x, f_n(T)x}\\ &= \skp{f_n(T)^*f_n(T)x, x}\\ &= \skp{(\bar f_n f_n)(T)x, x}\\ &\to \skp{(\bar f f)(T)x,x}\\ &= \norm{f(T)x}^2 \end{align*}$$ Por lo tanto, como en espacios de Hilbert $x_n \rightharpoonup x$ débilmente y $\|x_n\| \to \norm x$ implica $x_n \to x$, tenemos que $f_n(T) \to f(T)$ fuertemente, como se deseaba.