Demostrar que $(4/5)^{\frac{4}{5}}$ es irracional

Question

Demostrar que $(4/5)^{\frac{4}{5}}$ es irracional.

Mi prueba de lo lejos:

Supongamos por contradicción que $(4/5)^{\frac{4}{5}}$ es racional.

Entonces $(4/5)^{\frac{4}{5}}$=$\dfrac{p}{q}$, donde $p$,$q$ son enteros.

A continuación, $\dfrac{4^4}{5^4}=\dfrac{p^5}{q^5}$

$\therefore$ $4^4q^5=5^4p^5$

He llegado a este punto, y ahora no sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Esquema: Si el número de $\alpha$ es racional, existen enteros $p$ $q$ que son relativamente primos tales que $\alpha=\frac{p}{q}$.

De su $4^4q^5=5^4p^5$, sostienen que el $5$ divide $q$, y, a continuación, que $5$ divide $p$.

Answer 2

Sugerencia $ $ Por única factorización, comparando los poderes de $\,2\,$ en $\,2^{\large\color{#c00}8} q^{\large\color{#0a0}5}\!= 5^4 p^{\large\color{#a40}5}$ $\!\Rightarrow$ $\, \color{#c00}8\! +\! \color{#0a0}5k = \color{#a40}5j\,\Rightarrow\,5\mid 8$

Comentario $\ $ Esta es una generalización de la clásica prueba de la irracionalidad de la $\,\sqrt 2\,$ mediante la comparación de la paridad de poderes de $\,2\,$ $\,p^2\! = 2q^2.\,$ compara los poderes de mod $5$ (vs $2)$, ya que implica el $5$'th vs $2$nd poderes. La prueba no requiere toda la potencia de la única factorización en primos, sólo que cada natural puede escribirse de forma única en la forma $\,2^j n,\,\ n\,$ impar, que tiene una muy simple inductivo de la prueba.

Answer 3

Modificado ligeramente el enfoque.

$(\frac{4}{5})^\frac{4}{5} = (\frac{4}{5})^{1-\frac{1}{5}} = (\frac{4}{5})^1 \times(\frac{5}{4})^\frac{1}{5}$

Desde el primer factor es racional sólo necesitamos mostrar que el último término se $(\frac{5}{4})^\frac{1}{5}$ es irracional.

Supongamos que el último es racional y escribir (donde $p$ $q$ son coprime) $\frac{p}{q}=(\frac{5}{4})^\frac{1}{5} \implies 4\times p^5 = 5 \times q^5$

La L. H. S es, incluso, y esto implica que $q$ es incluso (sub $q=2^5\times n$ en el anterior);$q^5$, a continuación, debe tener un factor de $2^5$. Este sería necesario, entonces, $p$ a ser, incluso, y por lo tanto viola la coprime asunción y da la necesaria contradicción.

Answer 4

Este es esencialmente el mismo que el estándar de prueba de que $\sqrt 2$ es irracional.

Deje $z = (4/5)^{(4/5)}$. Ahora para calcular el $z^5$:

$$ z^5 = \left(\left({4\sobre 5}\right)^{4\sobre 5}\right)^5 = \left({4\sobre 5}\right)^{4} = {4^4\más de 5^4} $$

Claramente $z \neq 0$$0^{(5/4)} = 0 \neq 4/5$.

Vamos a un número racional $r = p/q$ donde $p$ $q$ son enteros positivos.

Cada entero positivo es conocido por tener una única factorización prima. En concreto, sabemos que existen enteros $i \geq 0$ $t \geq 1$ tal que $p = t \times 5^i$$t \not \equiv 0 \mod 5$.

Asimismo, $q = u \times 5^j$. Por lo tanto, hemos $$ r = \frac pq = \frac tu \times 5^{(i-j)} $$ y ni $t$ ni $u$ es divisible por $5$.

Ahora, calculamos $r^5$: $$ r^5 = \frac{u^5}{v^5} \times 5^{5 (i-j)} $$

Si $r^5 = z^5$, entonces tenemos que tener en $5(i-j) = -4$. Hay claramente no enteros $i,j$ a que se cumpla que. Así, hemos demostrado que para cualquier número racional $r$ no puede ser el caso de que $r = z = (4/5)^{(4/5)}$.

QED