$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(x,t) \ dt$

Question

¿$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(x,t) \ dt$$ equal to $ F(x,x)$ por el Teorema Fundamental del Cálculo?

Answer 1

Negativo. Considere la posibilidad de $f(x,t) = x$ y

$$\frac{d}{dx} \int_a^x x dt = \frac{d}{dx}(x(x-a)) = 2x - a \neq x = f(x,x)$$

El problema es que el integrando es también una función de $x$. Usted puede leer ¿Cómo puedo diferenciar esta integral? para obtener más.

Answer 2

eso no es cierto. la fórmula de leibniz es $$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(x, t)\, dt =f(x,x) + \int_a^x \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \, dt.$$

Answer 3

La aplicación de la regla de Leibniz: $$ \frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(x,t) \,dt = \int\limits_a^x f_x(x,t) \,dt + f(x,x) \frac{dx}{dx} = \int\limits_a^x f_x(x,t) \,dt + f(x,x) $$

Answer 4

Me parece recordar que el Teorema Fundamental del Cálculo probado con lo que respecta a funciones de una variable. En este caso tiene dos, por lo que es definitivamente una buena idea para ser un poco cuidadoso. Siempre es buena idea asegúrese de comprobar si es o no es su problema encaja en la hipótesis del teorema y que ciertas cosas de forma segura se puede hacer. Otro ejemplo sería el de intercambiar el orden de límite de una función - parece perfectamente seguro, pero no puede hacerlo si la función no es continua.

Para referencia, aquí está el Teorema Fundamental del Cálculo. Yo no veo ninguna disposición para cuando la variable de diferenciación está en el integrando y los límites de integración. Si yo no lo supiera mejor, me gustaría probar un par de ejemplos para ver si es o no parece llevar a cabo.

Usted puede encontrar que es útil para seguir buscando respuestas.... Creo que Leibniz Regla tiene para usted.