Parte fraccionaria de $ a^n $

Question

Probar que existe un número real $ a>1 $, de tal manera que $ \{a^n\} $ pertenece a $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$ para todos los enteros positivos $n$ $\lfloor a^n\rfloor$ es incluso iff $n$ es un primo.

$a^n=\{a^n\}+\lfloor a^n\rfloor$ donde $ \{a^n\} $ es la parte fraccionaria de $a^n$ $\lfloor a^n\rfloor$ es el mayor entero no mayor que $ a^n $

Answer 1

No podemos encontrar un valor exacto de $a$, pero es posible construir usando los intervalos anidados teorema.

Deje $I_1=[15+\frac13,15+\frac23]$. Suponga $I_k=[a_k+1/3,a_k+2/3]$ está definido y también satisfacer $I_k'=[(a_k+1/3)^{1/k},(a_k+2/3)^{1/k}]=[b_k,c_k]\subset I_1$. Entonces a partir de la $15<(a_k+1/3)^{1/k}=b_k<c_k$, $$(a_k+\frac23)^{1+\frac1k}-(a_k+\frac13)^{1+\frac1k}=c_k^{k+1}-b_k^{k+1}>(c_k^k-b_k^k)c_k>\frac13\cdot15=5$$ Por lo que el intervalo de $J_k=[(a_k+\frac13)^{1+\frac1k},(a_k+\frac23)^{1+\frac1k}-1]$ contener, al menos, $4$ enteros que significa que hay tanto en número par y un número impar en $J_k$. Vamos $$a_{k+1}=\cases{\text{even number in }J_k&\text{,if }k+1\text{ is prime}\\\text{odd number in }J_k&\text{,otherwise}}$$ and define $I_{k+1}=[a_{k+1}+1/3,a_{k+1}+2/3]$.

De $$(a_{k+1}+\frac13)^{\frac1{k+1}}>a_{k+1}^{\frac1{k+1}}\ge((a_k+\frac13)^{1+\frac1k})^{\frac1{k+1}}=(a_k+\frac13)^{\frac1k}$$ and $$(a_{k+1}+\frac23)^{\frac1{k+1}}<(a_{k+1}+1)^{\frac1{k+1}}\le ((a_k+\frac23)^{1+\frac1k})^{\frac1{k+1}}=(a_k+\frac23)^{\frac1k}$$ we see that $I'_{k+1}\subconjunto me'_k$. Thus by the nested intervals theorem, there is a real number $\displaystyle\en\bigcap_{k=1}^\infty me'_k$. Now $^k\in I_k=[a_k+1/3,a_k+2/3]$ where $a_k$ is even iff $k$ is prime. Thus $$ satisfacen las condiciones del problema.