Si está bien con usted, $user 91539$, voy a utilizar $x$ en lugar de $\theta$ y asumir que $x=\theta$
Ya sabemos:
$$1. tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$$
$$2. cos^2(x)=1-sin^2(x)$$
Podemos deducir la siguiente por la solución de la Ecuación [2] para $cos(x)$:
$$3. cos(x)=\pm\sqrt{1-sin^2(x)}$$
Y sustituyendo la Ecuación[3] en la Ecuación[1], podemos llegar a la conclusión de que:
$$4. tan(x)=\frac{sin(x)}{\pm\sqrt{1-sin^2(x)}}$$
Así, pues, si $\left[f(x)=g(x)\right]$, $\left[f(a)=g(a)\right]$
Por lo tanto:
$$5. tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\pm\sqrt{1-sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}}$$
Así que podemos empezar sustituyendo $sin(x/2)=\frac{3}{5}$ en la Ecuación[5]:
$$tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\frac{3}{5}}{\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}}}$$
$$tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\frac{3}{5\sqrt{\frac{16}{25}}}$$
$$tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\frac{3}{5(4/5)}$$
$$tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\frac{3}{4}$$
Por lo tanto, digamos, $\alpha=\frac{x}{2}$ y volver a escribir la ecuación como
$$tan(\alpha)=\pm\frac{3}{4}$$
Podemos evaluar esta a
$$\alpha=\pm tan^{-1}(3/4)+\pi n , n\in Z$$
Por lo tanto, desde el $\alpha=\frac{x}{2}$,
$$\frac{x}{2}=\pm tan^{-1}(3/4)+\pi n , n\in Z$$
$$x=\pm 2tan^{-1}(3/4)+2\pi n, n\in Z$$
$$tan(x)=tan(\pm 2tan^{-1}(3/4))+2\pi n, n\in Z$$
Así que, en general, $tan(x)$ es de alrededor de
$$ tan(x)\dot{=}\pm 3.4286+6.2831n, n\in Z$$
De 0 a $2 \pi$,
$$tan(x)\dot{=}3.4286$$
