Irreductibilidad del polinomio en $\Bbb F_p[x]$

Question

¿Qué podemos decir acerca de la irreduciblity de $x^{q-1} + \cdots + 1 $ $\Bbb F_p[x]$ donde $p,q$ distintos de los números primos?

En $\Bbb Z[x]$, se puede aplicar una transformación y aplicar el criterio de Eisenstein. Pero $\Bbb F_p$ no tiene más principales ideales.

Answer 1

$x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1$ $q$- th cyclotomic polinomio. Es irreducible sobre $\Bbb F_p$ fib $p$ es una raíz primitiva módulo $q$. Esto es porque contigua a la $q$-th raíces es la unidad a $\Bbb F_p$ da $\Bbb F_{p^k}$ donde $k$ es el menor entero con $q\mid (p^k-1)$.