Teorema de Urysohn Metrization: Prueba de Injectividad

Question

Estoy leyendo Topología de Munkres y siguiendo el teorema de metrización de Urysohn y su demostración, pero no entiendo por qué la inyectividad simplemente se da después de definir unas funciones de índice y producto de ellas.

He resaltado el punto que me falta en las imágenes insertadas a continuación.

Answer 1

$F(x)=F(y)$ si y solo si $f_n(x) = f_n(y)$ para todo $n.$

El hecho clave que están utilizando es que hay un $n$ tal que $f_n(x) > 0$ y $f_n(y)=0.$ (Esto se sigue del primer paso de la prueba y el hecho de que la regularidad implica que hay un vecindario de $x$ que no contiene a $y$.) Esto significa que hay un $n$ tal que $f_n(x)\ne f_n(y),$ por lo que $F(x)\ne F(y)$

Answer 2

Vuelve a la página 195 y recuerda que la definición de un conjunto regular $X$ asume que los conjuntos de un solo punto están cerrados en $X$. Además, $X$ es regular si para cada par que consiste en un punto x y un conjunto cerrado $B$ disjunto de $x, existen conjuntos abiertos disjuntos que contienen a $x$ y a $B$, respectivamente.

¿Cómo podemos usar eso para mostrar que $F$ es inyectiva? $F$ es inyectiva si $x \neq y$ implica $F(x) \neq F(y)$. Así que supongamos que $x, y \in X$ con $x \neq y$. Sea $B = \{y\}$, entonces $B$ es cerrado en $X$. Dado que $X$ es regular, existen vecindarios disjuntos $U$ y $V$ de $x$ e $y$ respectivamente.

Ahora podemos aplicar el paso 1 de la prueba. Implica que existe un $n$ tal que $f_n (x) > 0$ y $f_n = 0$ fuera de $U$. Pero nota que $y \not \in U$, así que $f_n (y) = 0$. Entonces algún componente de $F$, en este caso $f_n$, tiene diferentes valores en $x$ e $y$, por lo que $F(x) \neq F(y)$. Por supuesto, dado que $x$ e $y$ eran arbitrarios, esto muestra que $F$ es inyectiva.