¿Es posible escribir un número en una base inferior a 1?

Question

A raíz de esta pregunta:

http://math.stackexchange.com/a/217112/45127

Si tomamos como ejemplo la base 10, la granularidad es de 1. Es decir, incrementamos los dígitos en un incremento de 1 hasta llegar a 9 y entonces empezamos una nueva columna.

Si la base es menor que 1, entonces cualquier número que escribamos requerirá un número infinito de columnas o hay una forma de escribir un número en una base entre 0 y 1?

Answer 1

SUGERENCIA: $123.456_{\text{ten}}=6543.21_{\text{one-tenth}}$ :

$$\begin{align*} 1\cdot10^2&+2\cdot10^1+3\cdot10^0+4\cdot10^{-1}+5\cdot10^{-2}+6\cdot10^{-3}\\ &=6\left(\frac1{10}\right)^3+5\left(\frac1{10}\right)^2+4\left(\frac1{10}\right)^1+3\left(\frac1{10}\right)^0+2\left(\frac1{10}\right)^{-1}+1\left(\frac1{10}\right)^{-2} \end{align*}$$

Añadido: Por supuesto, si usted insiste en que la base de "dígitos $b$ debe estar en el intervalo $[0,b)$ entonces te será difícil construir una base razonable $b$ notación. Una pregunta más interesante podría ser:

Si $0<b<1$ qué conjuntos de "dígitos" pueden utilizarse para dar a cada número real una base $b$ representación.

Si $b=\frac1n$ para algún número entero $n\ge2$ los dígitos $0,1,\dots,n-1$ servirá, como en el ejemplo anterior.

Answer 2

Si se renuncia a la condición de que los dígitos sean del conjunto $\{0,1,\ldots,b-1\}$ (lo que no tiene sentido a menos que $b$ es un número entero no negativo, da el conjunto vacío para $b=0$ y para $b=1$ sólo le da el dígito $0$ que no generará mucho más) sino de algún otro conjunto, posiblemente acompañado de restricciones adicionales en las secuencias de dígitos, entonces son posibles sistemas numéricos con bases fraccionarias, negativas o incluso complejas. Incluso se puede relajar la condición de que los valores de lugar sean todos potencias de alguna "base" en primer lugar, dando sistemas de radios mixtos, u otras cosas como el sistema numérico de Fibonnacci. Realmente hay demasiadas ideas posibles (y probadas) para mencionarlas todas aquí.

Answer 3

¡Yipes! Acabo de probar la base -10.

$$12345.678=\begin{aligned} 2&\times\;^{_-}10^{4}\\ +\;8&\times\;^{_-}10^{3}\\ +\;4&\times\;^{_-}10^{2}\\ +\;6&\times\;^{_-}10^{1}\\ +\;6&\times\;^{_-}10^{0}\\ +\;4&\times\;^{_-}10^{^{_-}1}\\ +\;8&\times\;^{_-}10^{^{_-}2}\\ +\;2&\times\;^{_-}10^{^{_-}3} \end{aligned}$$ $$12345.678_{10} = 28466.482_{^{_-}10}$$

Aunque eso es usar dígitos positivos con una base neta. Puede que tengas que usar dígitos negativos y negar el número entero.