Son ____ objetos en un ____ categoría de un conmutativa _____?

Question

Esta es una pregunta de seguimiento a esta pregunta. Usted puede definir un $F$-álgebra a través de una categoría en la $F$ es un endofunctor. Esto permite definir un objeto de grupo, un anillo de objeto, un monoid objeto, y varios otros tipos de objetos.

Es cierto que en el caso de los grupos y monoids que un objeto de grupo en la categoría de grupos es un conmutativa grupo. Es cierto que un monoid objeto en la categoría de monoids es un conmutativa monoid. ¿Este se extienden a todos los $F$-los objetos se puede definir?

Es cierto que _____ objetos en la categoría de _____ conmutativa _____?

Answer 1

Es muy claro para mí qué "conmutativa" debe significar en este nivel de generalidad. Considere, por ejemplo, álgebras de Poisson. ¿Qué significaría para un algebra de Poisson para ser conmutativa? Qué significa que el álgebra de la multiplicación es conmutativa? Que el corchete de Poisson es conmutativa (que es cero)? Tanto? O qué?

El hecho de que un monoid en la categoría de monoids es un conmutativa monoid es el Eckmann-Hilton argumento, y es una sombra de lo importante de superior categoría / homotopical fenómenos que son en algún sentido especial para monoids. Es decir, lo que "monoid en monoids" en realidad consigue es algo que se llama $E_2$ álgebra en todos los casos. Ordinario categorías de una $E_2$ álgebra es sólo un conmutativa monoid, pero en las categorías superiores es algo más interesante; por ejemplo, en la 2 categoría $\text{Cat}$ es un trenzado de categoría monoidal, y en el $\infty$-categoría de homotopy tipos es casi la misma cosa, como un lazo doble espacio.

Usted puede seguir adelante y definir $E_3$ álgebras (monoids en monoids en monoids), $E_4$ álgebras (monoids en monoids en monoids en monoids), todo el camino hasta el $E_{\infty}$ álgebras, que resulta que es la manera correcta de decir "conmutativa monoid" en esta configuración más alta. El hecho de que $E_2, E_3, \dots E_{\infty}$ todos colapso "conmutativa" en un ordinario categoría es un artefacto de no haber mayor estructura para distinguirlos.

Independiente de todo eso, queda la pregunta interesante de lo que pasa cuando uno tiene dos tipos de estructura $A$$B$, y se pregunta qué "$A$-estructuras en $B$-estructuras" parece en general. Una respuesta es que si $A$ $B$ se dan por Lawvere teorías, entonces hay una Lawvere teoría cuyos modelos son modelos de $A$ en los modelos de $B$ llama el producto tensor Lawvere teoría de la $A \otimes B$; ver, por ejemplo, Hyland para más detalles, en particular, el Teorema 3.4. Desde esta perspectiva lo que la Eckmann-Hilton argumento revela es que el producto tensor de la Lawvere teoría de monoids con sí mismo es el Lawvere teoría de la conmutativa monoids. Pero se puede considerar más complicado tensor de productos, de la que no sé casi nada de la parte superior de mi cabeza.

Answer 2

Algo relacionado con lo que usted podría estar buscando surge en homotopical álgebra - sobre todo cuando se intenta definir la derivada de los objetos geométricos. Deje $\mathfrak{C}$ ser un monoidal modelo de la categoría. Denotar por Comm$(\mathfrak{C})$ la subcategoría de conmutativa monoids en $\mathfrak{C}$. Deje $k$ ser un anillo conmutativo. Vamos $\mathfrak{C}$ = $k$ - Mod de ser el simétrico monodical categoría de $k$-módulos. A continuación, Comm$(\mathfrak{C})$ es la categoría de la propiedad conmutativa $k$-álgebras. Un poco menos trivial caso, cuando char $k$ = $0$, es $\mathfrak{C}$ = C(k), en la categoría de sin límites complejos de $k$-módulos. Comm$(\mathfrak{C})$ es la categoría de la propiedad conmutativa diferencial graduada $k$-álgebras. Ejercicio: ¿cuál es el Comm$(\mathfrak{C})$ $\mathfrak{C}$ la categoría de simplicial $k$-módulos? Este es un poco más fuerte noción de Qiaochu anteriormente para $k$ de los no-cero característica, la homotopy teoría de simplicial conmutativa $k$-álgebras no es equivalente a la homotopy teoría de la $E_{\infty}$-monoids en simplicial $k$-módulos.