¿Qué tipos de objetos se pueden definir en una categoría?

Question

Puede definir un grupo de objetos en una categoría a través de algunos conmutativa diagramas que vagamente se corresponden con el grupo de axiomas. Por ejemplo, el grupo de objetos en la categoría de conjuntos bien...grupos. Los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos son grupos topológicos.

Mi amigo también se menciona monoid objetos. Busqué en internet y vi que podría definir el anillo de los objetos.

¿Qué otros tipos de objetos se pueden definir? Se puede definir un objeto de módulo? (Tal vez a través de un grupo de objetos) se Puede definir campo, álgebra, etc de los objetos?

A una pregunta de seguimiento aquí.

Answer 1

Hay todo tipo de cosas que usted puede hacer. En cualquier categoría con finito de productos que usted puede definir los modelos de cualquier Lawvere teoría, que a grandes rasgos permite definir cualquier tipo de estructura dada por algunas operaciones que satisfacen algunas universal axiomas ecuacionales. Los ejemplos incluyen

• Grupo de objetos
• Anillo de objetos
• Módulo de objetos a través de un determinado anillo de $R$ ($\text{Set}$)
• Un par formado por un anillo de objeto y un objeto de módulo (esto requiere un multisorted Lawvere teoría)

pero no los campos, porque el axioma de que cada elemento distinto de cero es invertible, no es un universal ecuacional axioma, debido a la necesidad de decir "distinto de cero." Para más información, véase por ejemplo este blog.

En cualquier categoría fija $C$ usted también puede tratar de escribir una mónada o comonad en $C$ y hablar de álgebras o coalgebras $C$. Esta es una experiencia tremendamente general formalismo; por ejemplo, compacto Hausdorff espacios son las álgebras de una mónada $\text{Set}$ llama la ultrafilter mónada. A grandes rasgos esto es lo que define compacto Hausdorff espacios en términos de un montón de infinitary operaciones llamadas tomando límites con respecto a un ultrafilter.

Si usted requiere más de $C$ puede definir más cosas en $C$. Generalizando el caso de Lawvere teorías, si necesita que $C$ tienen todos los límites se pueden definir modelos de cualquier límite de croquis en $C$, que generalizar Lawvere teorías. Por ejemplo, puede definir un interno de la categoría en $C$ si $C$ ha finito pullbacks.

Si usted requiere que $C$ tienen una estructura monoidal, el ejemplo prototípico de ser el producto tensor de espacios vectoriales, entonces usted puede definir álgebras de más de operads. Estos son similares a los Lawvere teorías, pero con algunas restricciones en lo que los axiomas pueden parecer; por otro lado monoidal categorías son sustancialmente más general que las categorías con finito de productos.

La definición de los campos es complicada debido a la necesidad de hablar de "distinto de cero elementos." Hay varias posibilidades y en otras categorías que no sean los habituales de la categoría de conjuntos no están de acuerdo.

Answer 2

La respuesta a tu primera pregunta es que se puede definir $F$-álgebras en una categoría $\mathcal{C}$ siempre $F$ es un endofunctor de $\mathcal{C}$.

Por ejemplo, si tomamos $F$ a ser el functor $G \mapsto 1 + G + G \times G$ (en una categoría con un terminal de objeto $1$, binario productos y co-productos), e insistir en que algunos diagramas conmutan (correspondiente a insistir en que la multiplicación es asociativa y así sucesivamente), entonces el $F$-álgebras en la categoría de grupo de objetos de esa categoría.

Como regla general, si usted puede definir su estructura algebraica de un conjunto de operaciones sobre un conjunto cuyo codominio es ese conjunto, entonces usted probablemente puede formar como una $F$-álgebra y, por tanto, aplicar a muchas más categorías.

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Un notable ejemplo de una estructura que no es un $F$-álgebra (y que, por tanto, evidentemente no generalizar a otras categorías) es la teoría de posets, porque posets no son "conjuntos con algunas operaciones sobre los conjuntos": hay fundamentalmente a "es $a$ menos de $b$?" operación que se asigna de la poset, en $\{\text{less}, \text{greater}, \text{equal}, \text{incomparable}\}$.

Totalmente de conjuntos ordenados, sin embargo, forman $F$-álgebras, porque pueden ser reformulados para omitir este "es menor que" la operación: en lugar podemos considerar un conjunto equipado con unirse y conocer las operaciones (que hacer mapa en el poset, a pesar de que el "es menor que" la operación no), y luego simplemente definir "$a$ es menor o igual a $b$" significa "el inf es igual a $a$".