La hipótesis del teorema de van Kampen (al menos en Hatcher) es que cada subespacio que contiene el punto de base.
Un simple ejemplo de lo que va mal: considere la posibilidad de una descomposición de la $S^1$ en tres arcos, cada par de que intersecta a lo largo de un arco. El generador de $\pi_1(S^1)$ puede no ser exactamente representado como bucles en cada uno de estos tres subespacios...
Todavía podemos utilizar el teorema de van Kampen, pero tenemos que ser cuidadosos con la elección de los subespacios. Para cada una de las $X_i$, vamos a $\gamma_i$ ser longitudinal de una ruta de acceso desde el polo norte hasta el polo sur. La composición de la $\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ es un bucle cerrado. Fijar el punto de base en este bucle. Tome un pequeño vecindario $U$ de este bucle. Ahora, los tres conjuntos de $X_i\cup U$ formar una descomposición del espacio que satisface el teorema de van Kampen de la hipótesis. Desde $\pi_1(X_i\cup U)=\mathbb{Z}$, se puede obtener el resultado que usted desea.
O bien, un argumento que no utilice el teorema de van Kampen es manipular un CW complejo de conseguir un homotopy equivalente espacio. Si el contrato de $\gamma_1$ $\gamma_2$ desde antes, se obtiene un espacio que es el producto exterior de dos esferas y una esfera cuyo polos norte y sur son identificados. Una esfera cuyo polos norte y sur son identificados es homotopy equivalente a la cuña de la suma de un círculo y una esfera. Por lo tanto, su espacio es homotopy equivalente a la cuña de la suma de tres esferas y un círculo.
O, siguiendo una sugerencia de Nick A., un toro con tres discos pegados en junto se traduce de la misma curva cerrada simple es homotopy equivalente a su espacio. El encolado en un disco es la misma como la adición de una relación con el grupo fundamental. Cualquier curva cerrada simple puede ser utilizado como uno de los generadores para el grupo fundamental de un toro. Los discos de matar a este particular generador, por lo tanto, todo lo que queda es $\mathbb{Z}$.
