Decimos que un polinomio es capicúa, si su secuencia de coeficientes igualmente bien puede leer al revés. Por lo que un grado $n$ polinomio
$$
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n,\ a_n\neq0,
$$
es capicúa si $a_i=a_{n-i}$ para todos los índices de $i, 0\le i\le n$. Este sistema de ecuaciones puede compacta ser expresados en la forma
$$
p(x)=x^np(\frac1x).
$$
Esta manera de hacer es muestra de que $p(\alpha)=0$ si y sólo si $p(1/\alpha)=0$.
Si suponemos además que $n$ es incluso, decir $n=2k$, luego llegamos a la parte comercial. En ese caso podemos escribir
$$
\frac1{x^k}p(x)=a_0x^{-k}+a_1x^{k+1}+\cdots+a_{k-1}x^{-1}+a_k+a_{k+1}x+\cdots a_{2k}x^k.\qquad(*)
$$
Observe que aquí los coeficientes de $x^i$ $x^{-i}$ son iguales, como consecuencia de la palindrómicas de la propiedad. Esto significa que $(*)$ puede ser escrito como un polinomio en la variable $z=x+\dfrac1x$. He aquí
$$
\begin{aligned}
x+\frac1x&=z,\\
x^2+\frac1{x^2}&=(x+\frac1x)^2-2=z^2-2,\\
x^3+\frac1{x^3}&=(x^2+\frac1{x^2})(x+\frac1x)-(x+\frac1x)=z^3-3z,\\
\vdots\\
x^{\ell+1}+\frac1{x^{\ell+1}}&=(x^\ell+\frac1{x^\ell})(x+\frac1x)-(x^{\ell-1}+\frac1{x^{\ell-1}})=\cdots.\\
\end{aligned}
$$
Aquí la última línea contiene un general de la recurrencia de la relación con la definición de una secuencia de polinomios $q_\ell, \ell=1,2,\ldots$, de tal manera que
$x^\ell+x^{-\ell}=q_\ell(z)$. Simplemente declarar $q_0(z)=2, q_1(z)=z$, y aplicar la recurrencia
$$
q_{\ell+1}(z)=z q_\ell(z)-q_{\ell-1}(z)
$$
para valores más altos de $\ell$.
Por lo tanto, el lado derecho de la $(*)$ es igual a
$$a_k+a_{k-1}q_1(z)+a_{k-2}q_2(z)+\cdots+a_0q_k(z)=\sum_{i=0}^ka_{k-i}q_i(z).\qquad(**)$$
Observar que $\deg q_i=i$, de modo que en el lado derecho de la $(**)$ tenemos un grado $k$ polinomio.
Lo que todo esto significa es que podemos encontrar los ceros de una capicúa polinomio $p(x)$ incluso de grado $n=2k$ el proceso de:
- Escribir $x^k(p(1/x)$ en la forma $f(z)$ con un polinomio $f$ grado $k$.
- Encontrar los ceros de $f(z)$ (esto todavía puede ser de gravar a los si $k$ es grande).
- Para cada cero $z_j, j=1,2,\ldots,k,$ resolver la ecuación cuadrática
$$x+\frac1x=z_j$$ to find two of the zeros of $p(x)$.
Ejemplo. Al $p(x)=x^4+x^3+x^2+1$, un capicúa de grado $4=2\cdot2$, vemos que
$$
x^2p(\frac1x)=x^2+x+1+\frac1x+\frac1{x^2}=1+q_1(z)+q_2(z)=z^2+z-1.
$$
Los ceros de $z^2+z-1$$z_{1,2}=(-1\pm\sqrt5)/2$. El resto es fácil.
