Problema :
Solucionar $\displaystyle \int \frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx$.
Intento :
Ya tenemos \begin{align} \int\frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx & =\int\frac{e^{3x}}{e^{x}+1}dx+\int\frac{1}{e^{x}+1}dx \end{align} y deje $u=e^{x}+1$, $e^{x}=u-1$ $du=e^{x}dx$ \begin{align} \int\frac{e^{3x}}{e^{x}+1}dx & =\int\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}e^{x}dx\\ & =\int\frac{\left(u-1\right)^{2}}{u}du\\ & =\int u-2+\frac{1}{u}du\\ & =\frac{1}{2}u^{2}-2u+\ln\left(u\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}-2\left(e^{x}+1\right)+\ln\left(e^{x}+1\right)+C_{1} \end{align} Por otro lado, para la otra parte de la integral, deje $v=e^{x}$, a continuación, $dv=e^{x}dx$ y hemos \begin{align} \int\frac{1}{e^{x}+1}dx & =\int\frac{1}{e^{x}\left(e^{x}+1\right)}e^{x}dx\\ & =\int\frac{1}{v\left(v+1\right)}dv\\ & =\int\frac{1}{v}dv-\int\frac{1}{v+1}dv\\ & =\ln\left(v\right)-\ln\left(v+1\right)\\ & =x-\ln\left(e^{x}+1\right)+C_{2} \end{align} Por lo tanto, tenemos \begin{align} \int\frac{e^{3x}}{e^{x}+1}dx & =\frac{1}{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}-2\left(e^{x}+1\right)+\ln\left(e^{x}+1\right)+C_{1}+x-\ln\left(e^{x}+1\right)+C_{2}\\ & =\frac{1}{2}e^{x}-e^{x}+x+C \end{align}
Pregunta
Creo que he resuelto correctamente, pero me pregunto si este método es demasiado complicado de cómputo. Estoy buscando una mejor manera de atacar esta integral.
