Cómo demostrar que la forma cerrada de la integral de la $\int \frac {dx}{\prod_{r=0}^n (x+r)}$

Question

Quiero derivar una cerrada fórmula de la integral de la $$I_n= \int \frac {dx}{\prod_{r=0}^n (x+r)}$$

En la escritura de primeros términos obtenemos

Para $n=0$, $$I_0=\ln \vert x\vert+C$$ Para $n=1$, $$I_1=\ln \vert x\vert-\ln \vert x+1\vert+C$$ Para $n=2$ $$I_2=\frac {1}{2!}\left(\sum_{r=0}^2 (-1)^r\binom {2}{r} \ln \vert x+r\vert\right)+C$$ Para $n=3$ $$I_3=\frac {1}{3!}\left(\sum_{r=0}^3 (-1)^r\binom {3}{r} \ln \vert x+r\vert\right)+C$$

Por lo tanto para generalizada $n$ tenemos $$I_n=\frac {1}{n!}\left(\sum_{r=0}^n (-1)^r\binom {n}{r} (\ln \vert x+r\vert)\right)+C$$

Ahora bien, esto es sólo una observación, pero quiero demostrar que es correcta. He probado muchos métodos, pero no útil. Parcial fracciones habría sido más útil, pero podría salir en la tediosa tarea que es casi imposible. También la integración por partes no ayuda, ni cualquier trigonométricas sustitución. Así que todas las ideas son bienvenidas. Y ya, esto no es una tarea pregunta, es una pregunta que acabo de ver en una integral reto de papel.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \int{\dd x \over \prod_{r = 0}^{n}\pars{x + r}} & = \int{\dd x \over \Gamma\pars{x + n + 1}/\Gamma\pars{x}} = {1 \over n!} \int{\Gamma\pars{x}\Gamma\pars{n + 1}\over \Gamma\pars{x + n + 1}}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over n!}\int\int_{0}^{1}t^{x - 1}\pars{1 - t}^{n}\,\dd t\,\dd x = {1 \over n!}\int_{0}^{1}\pars{1 - t}^{n}\int t^{x - 1}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over n!}\int_{0}^{1}\pars{1 - t}^{n} \bracks{{t^{x - 1} \over \ln\pars{t}} + \,\mrm{A}\pars{t}}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over n!}\int_{0}^{1}{t^{x - 1}\pars{1 - t}^{n} \over \ln\pars{t}}\,\dd t + {1 \over n!}\int_{0}^{1}{t^{x - 1}\,\mrm{A}\pars{t} \over \ln\pars{t}}\,\dd t \end{align}

$\ds{\mrm{A}\pars{t}}$ es una integración "constante" ( que no dependen de $\ds{x}$, pero, en general, depende de la $\ds{t}$ ).