Las dudas acerca de una pregunta que le hice hace mucho tiempo (autovalores)

Question

Aquí he publicado una pregunta acerca de los autovalores de la matriz $A:=vv^t$ (donde $v\in\mathbb{R}^n$).

La pregunta fue respondida, pero creo que (después de algún tiempo) que no estoy satisfecho.

Por favor alguien puede ampliar la respuesta? No entiendo por qué la $A$ tiene rango en la mayoría de los $1$ y por qué este hecho implica que el $\lambda=\sum x_i^2$ es el único autovalor. Además, puedo concluir que $A$ es diagonalizable?

Answer 1

Rango $1$: Para cualquier vector $a$, tenga en cuenta que $v^Ta$ es un escalar, por lo $vv^Ta$ es un escalar varios de $v$. Por lo que el intervalo de $vv^T$ está en el intervalo de $v$, que es unidimensional, por lo $vv^T$ rango $1$.

Todos sino $1$ autovalor es $0$: Desde el rango de $vv^T$$1$, el nullspace tiene dimensión $n-1$, por el rango-nulidad teorema. Eso significa que podemos encontrar $n-1$ vectores linealmente independientes en el nullspace. Ya que cada vector en la nullspace ha autovalor $0$, $0$ es un autovalor con multiplicidad $n-1$. Eso deja espacio para sólo uno más autovalor, que ya hemos demostrado es $\sum x_i^2$.

Diagonalizability: Como hemos demostrado anteriormente, podemos encontrar $n-1$ linealmente independiente de vectores propios de a $0$. También podemos encontrar un vector propio de a $\sum x_i^2$, para hacer una base en la que $vv^T$ es diagonal.

Answer 2

Una es diagonizable porque es real valorados y simétrica $A^T=A$ (Este es el teorema espectral)

$A=vv^T$ $A^T=(vv^T)^T=(v^T)^Tv^T=vv^T=A$

https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem

Answer 3

A ver que $v v^T$ tiene rango en la mayoría de uno, vemos que para cualquier vector de $u$ ,tenemos: $$(vv^T)x = v(v^Tx)$$ El lado derecho es un escalar veces $v$. Así que todos los vectores $x$ es asignado a un escalar varios de $v$, con el escalar determinado por $x$, lo que significa que la transformación lineal representado por $vv^T$ rango $1$ $vv^T$ rango $1$.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$(vv^T)v = v(v^Tv) = \|v\|^2 v$$

por lo $v$ es un autovector con el autovalor $\|v\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$.

También, explícitamente

$$vv^T = \begin{pmatrix} x_1^2 & x_1x_2 & \ldots & x_1x_n \\ x_2x_1 & x_2^2 & \ldots & x_2x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_nx_1 & x_nx_2 & \ldots & x_n^2\end{pmatrix}$$

así que cada columna es un múltiplo de a $v$, por lo tanto el rango de $vv^T$ es en la mayoría de las $1$.

Answer 5

$A$ tiene rango en la mayoría de los $1$ debido a que todas las filas sean múltiplos de $(x_1,\dots,x_n)$.

Por lo tanto, el núcleo de $A$ tiene dimensión, al menos,$n-1$, dejando espacio para más de un otro autovalor.

$A$ es diagonalizable por tomar una base del núcleo de $A$ y la adición de un autovector de a $\lambda$.