Permítanme explicar brevemente el Conley índice de la teoría. Toda la teoría se puede encontrar en las referencias de esta página de la wikipedia. Como dije en mis comentarios, he aprendido de Conley del tratamiento original que me gustó bastante.
Deje $M$ ser el colector en el que el vector de campo está definido, y deje $\phi : M \times \mathbb{R} \to M$ ser el flujo generado por la que el vector de campo. Voy a usar las notaciones como $x \cdot t = \phi(x,t)$.
La primera idea es no centrarse en puntos fijos de por sí, pero en lugar de invariantes subconjuntos $C$, lo que significa que para todos los $x \in C$ $t \in \mathbb{R}$ tenemos $x \cdot t \in C$.
La segunda idea es la de centrarse sólo en compacto invariante subconjuntos $C$ cuales son aisladas, lo que significa que existe un vecindario $N$ $C$ llamado aislar barrio de $C$: por definición, esto significa que $C$ es el mayor subconjunto invariante de $N$. (En más detalle, para cada una de las $x \in N-C$ existe $t \in \mathbb{R}$ tal que $x \cdot t \not \in N$. Decir que "$N$ es un barrio de $C$" me refiero a que existe un subconjunto abierto $U \subset M$ tal que $C \subset U \subset N$; el conjunto $N$ sí no está obligado a ser abierto.)
Conley demostró que para cada compacto invariante subconjunto $C$ existe un tipo muy especial de aislamiento vecindario $B$ $C$ llama un "aislamiento de bloque de $C$". Para decir lo que esto significa, el primer requisito es que el $B$ es un compacto submanifold-con-el límite en la $M$ de la dimensión de $n$. Además, cada punto de $x \in \partial B$ es necesario caer en uno de tres tipos:
- $x$ es un punto de salida, lo que significa que el campo de vectores en $x$ es transversal a $\partial B$ y apunta hacia el exterior, lo que implica que existe $\epsilon > 0$ tal que $x \cdot (-\epsilon,\epsilon) \cap B = x \cdot (-\epsilon,0]$. De ello se sigue que el conjunto de puntos de salida de forma un subconjunto abierto de $\partial B$.
- $x$ es un punto de entrada, lo que significa que el campo de vectores en $x$ es transversal a $\partial B$ y apunta hacia adentro, lo que implica que existe $\epsilon > 0$ tal que $x \cdot (-\epsilon,\epsilon) \cap B = x \cdot [0,\epsilon)$. De ello se sigue que el conjunto de puntos de entrada de forma un subconjunto abierto de $\partial B$.
- $x$ es un externo de tangencia, lo que significa dos cosas. Decir que $x$ es un "tangencia" significa que el campo de vectores en $x$ es tangente a $\partial B$, pero sólo hasta el primer orden (el vector de campo debe ser $C^2$ para que esto tiene sentido). Y decir que $x$ es un externo de tangencia significa que existe $\epsilon > 0$ tal que $x \cdot (-\epsilon,\epsilon) = \{x\}$. De ello se sigue que el conjunto de externos tangencies es compacto submanifold de dimensión$n-2$$\partial B$.
Para resumir, el límite de $\partial B$ de cualquier aislamiento de bloque de $B$ contiene una dimensión $n-2$ submanifold que consiste en el exterior tangencies que voy a denotar $\tau B$. El submanifold $\tau B$ separa el límite en dos piezas, los puntos de entrada y puntos de salida, y voy a denotar sus cierres como $\partial_{in} B$$\partial_{out} B$, respectivamente. Observe que
$$\parcial(\partial_{en} B) = \partial\bigr(\partial_{salir} B) = \tau B
$$
así que, si $\tau B$ es no vacío, entonces dos de $\partial_{in} B$ $\partial_{out} B$ son no vacíos.
Bueno, hasta ahora todo lo que ha sucedido es que Conley ha demostrado la existencia de un aislamiento de bloque de $B$ para cada aislado compacto invariante en el subconjunto. Ahora viene lo interesante.
Conley se define el índice de aislamiento de bloque de $B$ como sigue. Escoge un resumen de punto de base, disjunta de a $B$, lo que voy a denominar $*$. Forma el cociente del espacio de $B \cup \{*\}$ mediante la identificación de $\partial_{out} B \cup \{*\}$ a un único punto, y que para ser el punto base del cociente. El cociente es por lo tanto un objeto de la categoría de la base-señaló espacios topológicos. El índice de $B$ se define como el homotopy tipo de cociente en la categoría de base-señaló espacios topológicos.
En Conley, la teoría de las siguientes cosas son probados:
- Índice está bien definido: Cualquiera de los dos aislar los bloques para $C$ tienen el mismo índice, hasta homotopy equivalencia de punta espacios topológicos. Así, el índice de $C$ está bien definida por los llevan a ser igual al índice de cualquiera de sus aislar los bloques.
- El índice es estable bajo perturbación: Para cualquier aislamiento de bloque de $B$, si el campo vectorial es perturbado una pequeña cantidad (en el $C^2$ topología), a continuación, $B$ es todavía un aislamiento de bloque, y aunque el conjunto de sus puntos de salida, puntos de entrada y externos tangencies puede haber sido perturbado, sin embargo el índice de $B$ se mantuvo sin cambios por la perturbación.
Es interesante trabajar con algunos ejemplos de índice, para ver los diferentes "tipos" de compacto invariante aislado conjuntos.
- Para atraer a un punto fijo en la dimensión $n$, el índice es igual a la homotopy tipo de una a dos puntos del espacio, también conocido como el "$0$-esfera". Esto es cierto porque hay un aislamiento de bloque de $B$ que consta de un $n$-a la pelota con $\partial_{in} B = \partial B$.
- Para repeler un punto fijo en la dimensión $n$, el índice es igual a la homotopy tipo de la $n$-esfera, porque hay un aislamiento de bloque de $B$ que consta de un $n$-a la pelota con $\partial_{out} B = \partial B$.
- Hiperbólico puntos fijos. En $\mathbb{R}^n$ el campo de vectores
$$\vec v(x_1,....,x_i,x_{i+1},...,x_n) = (x_1,...,x_i,-x_{i+1},...,-x_n)
$$
define un flujo con un aislado de punto fijo en el origen, y este punto fijo tiene un aislamiento de bloque de consistint de la $n$-a la pelota con $\partial_{out} B$, equivalente a un barrio de una incrustado ronda esfera de dimensión $i-1$. Por lo que el índice es igual a la homotopy tipo de la $n$-la pelota con un $i-1$ dimensiones subsphere de la frontera se derrumbó en un punto; no es difícil ver que esto es igual a la homotopy de la esfera de la dimensión $i$. Este es un ejemplo conocido donde el entero $i$ fue referido como el "índice" del punto fijo mucho antes de Conley, y aquí vemos que esta entero recurrente en Conley la teoría como la dimensión de su índice.
En el caso especial de un hiperbólico punto fijo con $n=2$$i=1$, el aislamiento de bloque es $B^2$ $\partial_{out}(B)$ que es un par de intervalos disjuntos en el límite del círculo. El colapso de estos dos intervalos para el punto base $*$, se obtiene con la punta de su espacio topológico que es homotopy equivalente a la del círculo. Así, el índice de un estándar hiperbólico punto fijo de un flujo en la dimensión 2 es el homotopy tipo de círculo.
El índice de vacío compacto invariante es la homotopy tipo de de un un punto del espacio, es decir, el contráctiles homotopy tipo. Esto es cierto debido a que usted puede imaginar el conjunto vacío a tener un aislamiento de bloque obtenidos por el engorde de cualquier sección de Poincaré de la corriente, y cuando se forma el cociente por trituración de la salida de conjunto a un punto, a continuación, el flujo da una deformación de retracción a ese punto. Vamos a llamar a esto el "trivial" índice.
Como consecuencia de este último ejemplo, en combinación con Conley del teoremas, se obtiene la siguiente aplicación:
Teorema: Si $C$ es un aislado compacto conjunto invariante no trivial con el índice, y si se perturba el campo vectorial, entonces habrá cerca de un vacío aislado compacto invariante en el conjunto del mismo índice.
