¿Cómo empezar a aprender matemáticas de alto nivel?

Question

Estaba buscando en Internet el mejor lugar para hacer esta pregunta, ya que parece que no hay una buena respuesta en ningún sitio. Lo siento mucho si este no es el lugar adecuado para preguntar esto, así que si ese es el caso, agradecería que me remitieran al lugar correcto. Aquí va.

Soy un estudiante de tercer año de secundaria muy apasionado y curioso por las matemáticas. He participado en numerosos concursos de matemáticas (como AMC, AIME y USAMO), y he completado todos los cursos de matemáticas del instituto hasta el cálculo multivariable. También he adquirido bastante experiencia en la redacción de pruebas matemáticas rigurosas. En mi tiempo libre, me encanta explorar las matemáticas planteando mis propios problemas e intentando resolverlos (o al menos intentando hacer algún progreso). Al cabo de un tiempo, lo busco en Internet, y a menudo resulta que algún matemático ya lo ha respondido. Sin embargo, los métodos utilizados para resolver esos problemas acaban estando fuera del alcance de mis conocimientos. Esto me lleva a mi pregunta: ¿cómo puede un estudiante de secundaria como yo empezar a aprender matemáticas de nivel superior, como el análisis o la teoría de números?

Sé que puede ser un poco pronto para mí, ya que estoy en el instituto y la mayoría de vosotros me diréis que espere hasta la universidad, pero realmente quiero empezar a aprender ahora. Siento una gran curiosidad por las matemáticas puras y quiero ampliar mis conocimientos hasta un nivel que me permita participar en la investigación matemática.

Más concretamente, estas son las dos preguntas para las que busco una respuesta:

• ¿Cómo se inicia un estudiante de secundaria en el aprendizaje de las matemáticas de nivel superior? En concreto, tengo curiosidad por temas como el Análisis y la Teoría de Números, sobre todo porque ya tengo una base sólida y experiencia en ellos (sobre todo por hacer muchísimas preguntas de concursos de matemáticas). Estoy buscando algún libro de texto específico o recursos que puedan recomendar.

• En términos más generales, ¿cómo se hace la transición de las matemáticas de la escuela secundaria a un nivel en el que uno puede realmente involucrarse en la investigación matemática? He estado observando a matemáticos famosos que lograron todas estas locuras, y me he preguntado, ¿cómo llegaron al nivel en el que estaban?

Perdón por la pregunta blanda, y gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

En primer lugar, necesitas una base sólida para poder aprender las matemáticas superiores. Para ello te recomiendo "Cómo demostrarlo" por D. Vellemen . Después de hacer este libro tendrás herramientas a tu disposición para aprender análisis o álgebra lineal. Para el análisis te recomendaría "Entender el análisis" de Stephen Abbot . Para el álgebra lineal puede consultar "Introducción al álgebra lineal" por Serge Lang . También hay conferencias de vídeo en el análisis real. aquí es Enlace . Para el aprendizaje de la teoría de los números recomendaría "Teoría elemental de los números" de Underwood Dudley .

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Por su pregunta, me parece que le interesan más los "logros" que las matemáticas. Si amas algo, no te preocupas por los logros o los premios. Simplemente lo haces. Parece que tienes prisa por superar las matemáticas y llegar a algún "mundo de investigación de genios extraños". La diversión de las matemáticas está en hacerlas ahora y no cuando las consigas después. Como dice Watson "el trabajo del Sr. Holme es en sí mismo una recompensa". Disfruta del proceso

Espero que esto ayude