Condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución débil de una ecuación diferencial estocástica $$dX_t = \mu(X_t)dt + \sigma dZ_t$$ are known. Loosely speaking, Lipschitz conditions along with finite variation of $\mu$ and $\sigma$ son suficientes. Estoy interesado en un problema un poco diferente: dada una solución, los parámetros son los únicos?
Suponga que $x$ sigue algún proceso estocástico $$dX_t = \mu(X_t)dt + \sigma dZ_t$$ donde $\mu(\cdot)$ es desconocida, pero de $\sigma$ es conocido; y $Z_t$ es un movimiento Browniano. Dada una distribución inicial $f_0(x)$ y una distribución final $f_T(x)$ (observado en el tiempo de $T$), y en qué sentido se $\mu$ único? Puede haber múltiples $\mu$, que difieren en un conjunto de medida positiva que generan la misma distribución final?
Traté de continuar por la contradicción y asumir que existen dos soluciones, $\mu_1$$\mu_2$, lo que genera soluciones de $f_1$ $f_2$ que está de acuerdo en $t = 0, T$. Es suficiente para considerar el caso en que $f_1$ $f_2$ son iguales no donde en $(0, T)$ y sólo en $t=0, T$, ya que de lo contrario puede considerar que el problema comienza en el punto donde ellos son iguales. Además, ellos no pueden ser iguales en todas partes, ya que esto viola la existencia de una única solución débil parámetros dados (el primer punto que he mencionado anteriormente). Sin embargo, no obvia la contradicción surgió.
No he encontrado una solución, buscando a través de Stroock & Varadhan del libro de texto y Rogers & Williams' libro de texto, pero parece que la declaración debe ser cierto (que no obvia el contraejemplo ha salido a la superficie).
