$f \in L^p([0, 1])$, para cada $1 \le r < p$,$\|f_n - f\|_r \to 0$$n \to \infty$.

Question

Deje $f_n \in L^p([0, 1])$$p > 1$. Suponga que $\|f_n\|_p \le 1$ y, como $n \to \infty$, $f_n \to f$ en casi todas partes en $[0, 1]$. Cómo hago para ver la siguiente?

1. Tenemos $f \in L^p([0, 1])$.
2. Para cada $1 \le r < p$,$\|f_n - f\|_r \to 0$$n \to \infty$.

Answer 1

De ello se desprende directamente de Fatou del lema que $\|f\|_p \leq 1$; en particular, $f \in L^p$. Para probar la segunda afirmación, se corrige $\epsilon>0$ y escribir

$$\begin{align*} \|f_n-f\|_r^r &= \int_{|f_n-f| \leq \epsilon^{-1}} |f_n-f|^r \,dx + \int_{|f_n-f|>\epsilon^{-1}} |f_n-f|^r \, dx \\ &=: I_1+I_2\end{align*}$$

Estimamos que los términos por separado. Desde $r<p$, podemos escribir $r= p+\delta$ algunos $\delta>0$. Entonces

$$\begin{align*} I_2 &\leq \int_{|f_n-f|>\epsilon^{-1}} |f_n-f|^r \frac{|f_n-f|^{\delta}}{(\epsilon^{-1})^\delta} \, dx \\ &\leq \epsilon^{\delta} \left( \int |f_n|^p dx + \int |f|^p \, dx \right) \\ &\leq 2 \epsilon^{\delta}\end{align*}$$

donde hemos utilizado para la última desigualdad que $\|f_n\|_p \leq 1$ todos los $n \in \mathbb{N}$$\|f\|_p \leq 1$. Por otra parte, se desprende del teorema de convergencia dominada de que

$$I_1 \xrightarrow[]{n \to \infty} 0 \tag{1}$$

para cada uno de ellos fijo $\epsilon>0$. En consecuencia, se

$$\begin{align*} \limsup_{n \to \infty} \|f_n-f\|_r^r &\leq \underbrace{\limsup_{n \to \infty} I_1(n)}_{\stackrel{(1)}{=} 0} + \limsup_{n \to \infty} I_2(n) \leq 2 \epsilon^{\delta}. \end{align*}$$

Desde $\epsilon>0$ es arbitrario, esto termina la prueba.