Modular interpretación de curvas modulares

Question

Deje $\Gamma$ ser una congruencia subgrupo de nivel $N$. ¿Qué es el sistema modular de la interpretación de $\Gamma\backslash \mathcal{H}^*$, por eso me refiero a lo que son las curvas elípticas + adicional de la estructura se parametrizes.

Sé que la respuesta al $\Gamma$ es uno de los clásicos grupos de $\Gamma(N),\Gamma_0(N)$ o $\Gamma_1(N)$ y estoy en busca de un panorama más general.

Edit : Entonces, supongo que después de pensar acerca de esto me tiene un poco un poco de una idea de cómo funcionaría, pero realmente no estoy seguro. Aquí va :

Sabemos que $\Gamma \backslash \mathcal{H} = \overline{\Gamma} \backslash X(N)$ donde $N$ es el nivel de $\Gamma$ $\overline{\Gamma}$ es el subgrupo de $SL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$.

Además, el sistema modular de la interpretación de $X(N)$ es que parametrises pares de $(E,(P,Q))$ donde

• $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ $(P,Q)$ es una base de la $N$-torsión de $E$ de manera tal que el weil emparejamiento $e(P,Q)$ es igual a $\zeta_n$
• $(E,(P,Q))$ $(E',(P',Q'))$ son equivalentes si $E$ $E'$ son isomorfos y que el isomorfismo entre los dos envíos $(P,Q)$ $(P',Q')$

Así que la pregunta puede reformularse como (modulo todo lo que he dicho antes es correcto) ¿qué $SL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ actuar en $(E,(P,Q))$. Lo obvio sería que para $\gamma = \left (\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right ) \in SL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) $ tenemos $\gamma (E,(P,Q)) = (E,(aP + bQ, cP + dQ))$

A continuación, el sistema modular de la interpretación de $\Gamma \backslash \mathcal{H}$ sería pares de $(E,(P,Q)$ como antes, que son equivalentes si el isomorfismo $E \to E'$ envía $(P,Q)$ $(P'',Q'')$donde $(P'',Q'')$ puede ser obtenida a partir de a $(P',Q')$ por una transformación en la $\overline{\Gamma}$

Como ya he dicho, no estoy muy seguro si esa es la forma correcta de pensar acerca de las cosas, especialmente ya que realmente no he visto la explicación de las cosas de esta manera antes de lo que probablemente significa que sea falsa (o era obvio). Así que estoy buscando a alguien para que me diga si esta interpretación es correcta y cómo se realiza habitualmente ?

Edición 2 , Obviamente, una buena comprobación de validez sería ver si soy capaz de este modo para obtener los módulos de interpretación de $X_0(N)$ $X_1(N)$ vuelta, pero hasta ahora no he de ser capaz de hacerlo (pero no he intentado muy duro).

Answer 1

A un complejo número de $\tau \in \Bbb H$, asociado a la celosía $\Lambda_\tau = \langle \tau, 1 \rangle$, la curva elíptica $E_\tau = \Bbb C/\Lambda_\tau$, y los dos $N$-torsión puntos de $P_N(\tau) = \frac 1N \tau \pmod{\Lambda_\tau}$$Q_N(\tau) = \frac 1N \pmod {\Lambda_\tau}$.

Para$\gamma = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in SL_2(\Bbb Z)$$\tau \in \Bbb H$,$\gamma.\tau = \frac {a\tau+b}{c\tau+d}$, y un isomorfismo $ E_\tau \to E_{\gamma.\tau}$ inducida por $z \mapsto z/(c\tau+d)$, ya que el $\Lambda_\tau = \langle \tau ; 1 \rangle = \langle a\tau+b ; c\tau+d \rangle$, que es homothetic a $\langle \gamma.\tau,1\rangle$.

Ahora, vamos a $F(\tau) \in X(N)$ ser el isomorfismo de la clase del triplete $(E_\tau,P_N(\tau),Q_N(\tau))$. $F(\gamma.\tau) = (E_{\gamma.\tau},P_N(\gamma.\tau),Q_N(\gamma.\tau)) = (E_\tau,\phi_{\gamma,\tau}^{-1}(P_N(\gamma.\tau)),\phi_{\gamma,\tau}^{-1}(Q_N(\gamma.\tau))) = (E_\tau,\frac\tau+ \frac bN,\frac cN\tau+ \frac dN) = (E_\tau, aP_N+bQ_N,cP_N+dQ_N)$.

Ahora es muy claro que para la mayoría de los $\tau$, $F(\gamma.\tau) = F(\tau)$ si y sólo si $\gamma = \pm I_2 \pmod N$, y que el $(P_N(\gamma.\tau),Q_N(\gamma.\tau))$ $\Bbb Z/N \Bbb Z$- bases de $E_\tau[N]$ con determinados Weil emparejamiento (el valor específico que no es importante).

En este punto tenemos exactamente su acción de $SL_2(\Bbb Z/N \Bbb Z)$ $E(P,Q)$ que usted describe. Sin embargo, $-I_2$ actos trivialmente en $\Bbb H$ y no en el $\Bbb Z/N \Bbb Z$-bases de $E_\tau$. En lugar de mirar a $(P,Q)$ podemos ver que en lugar de la órbita $\{(P,Q),(-P,-Q)\}$, en la que tenemos una acción natural por $SL_2(\Bbb Z/N \Bbb Z)/\{\pm I_2\}$. A continuación, puede empezar a tomar fotografías describiendo $X(N)$ el uso de esos objetos.

El de arriba es functorial en $N$ : tenemos una multiplicación por$M$ mapas : $\mu_M : E_\tau[MN] \to E_\tau[N]$, lo que induce a los mapas de $\mu_M : (E_\tau,P,Q) \in X(MN) \mapsto (E_\tau,\mu_M(P),\mu_M(Q)) \in X(N)$. Como para los grupos, tenemos la reducción del modulo $N$ mapas de $SL_2(\Bbb Z/MN \Bbb Z) \to SL_2(\Bbb Z/N \Bbb Z)$, y $(\gamma \pmod N).(\mu_M(E,P,Q)) = \mu_M(\gamma.(E,P,Q))$.

Con el fin de recuperar otros módulos de problemas, usted tiene que tomar un adecuado coeficiente :

Si desea clasificar las clases de isomorfismo de $(E,P)$ donde $P$ es de orden exactamente $N$, entonces simplemente tiene que olvidarse de $Q$. Deje $G_1$ ser el subgrupo de $SL_2(\Bbb Z/N \Bbb Z)$ fijación $P$ ($a=1,b=0$), entonces existe un natural de la correspondencia entre los isomorfismo de clases y las clases de isomorfismo de la $G_1$de las órbitas de la $(E,P)$. Desde allí se puede obtener con $\Gamma_1(N) = \{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, a=1 \pmod N,b=0 \pmod N\}$, $\Gamma_1(N) \backslash \Bbb H$ clasifica esas clases de isomorfismo.

Como para las clases de isomorfismo de subgrupos cíclicos de orden $N$, usted necesita para desdibujar la diferencia entre el$P$$aP$, por lo que usted quiere recoger $G_0$ a ser el subgrupo de $SL_2(\Bbb Z/N \Bbb Z)$ tal que $\gamma P$ es un múltiplo de a $P$, y de obtener la condición de $b=0$, desde el cual recupera $\Gamma_0$(N).