Mientras yo estaba en busca de una mejor comprensión del concepto de familias (que aún no está del todo claro) en el Halmos libro, me he encontrado con esto:
Deje $\left\{ I_j \right\}$ ser una familia de conjuntos con el dominio $J$; escribir $K = \bigcup_j I_j$ y deje $\left\{ A_k \right\}$ ser una familia de conjuntos con el dominio $K$. No es difícil probar que:
$$\bigcup_k A_k = \bigcup_{j\in J} \bigg( \, \bigcup_ {i\in I_j}A_i\, \bigg) $$
Por lo tanto, tengo dos preguntas acerca de esto:
Primero: Es la próxima prueba de la correcta?
$$\bigcup_k A_k = \bigcup_{j\in J} \bigg( \, \bigcup_ {i\in I_j}A_i\, \bigg) $$
($\Rightarrow$) Supongamos $z\in \bigcup_k A_k $. A continuación, hay algunos $k\in K$ tal que $z\in A_k$. Pero ya $K = \bigcup_j I_j$, $k\in K$ significa $k\in I_j$ durante al menos un $j\in J$. Por eso, $z\in A_k$ algunos $k\in I_j$, es decir, $z\in \bigcup_{k\in I_j} A_k$; por lo menos un $j\in J$. Entonces, $z\in \bigcup_{k\in I_j} A_k$ algunos $j\in J$, es decir, $z\in \bigcup_{j\in J} \big( \, \bigcup_ {k\in I_j}A_k\, \big).$
($\Leftarrow$) Ahora suponga $z \in \bigcup_{j\in J} \big( \, \bigcup_ {i\in I_j}A_i\, \big)$. A continuación, hay algunos $j\in J$ tal que $z \in \bigcup_ {i\in I_j}A_i$. Para $z \in \bigcup_ {i\in I_j}A_i$ a su vez hay un $i\in I_j$ tal que $z\in A_i$. Vamos a definir el conjunto de $K := \bigcup_j I_j$ tan claramente $i \in K$. Entonces existe un $i \in K$ tal que $z\in A_i$, por lo que $z\in \bigcup_{i\in k} A_i$. $\;\;\; \Box$
Y segundo: al final del párrafo, el autor dice: "Esta es la versión generalizada de la ley asociativa de la unión". Pero no puedo ver cómo eso se generalizó la ley asociativa. Podía alguien me explique la razón por la cual es la forma generalizada, si no es demasiada molestia, por favor?
Como de costumbre, gracias de antemano.
