Principiante solución de problemas de un autovector de cálculo

Question

Estoy teniendo algunos problemas para identificar el error en mi autovector de cálculo. Estoy tratando de calcular la final autovector de a $\lambda_3 = 1$ y estoy esperando el resultado de la $X_3 = \left(\begin{smallmatrix}-2\\17\\7\end{smallmatrix}\right)$

Para empezar, me juego hasta la siguiente ecuación (para el propósito de esta pregunta me voy a referir a la izquierda de la matriz de aquí). $$\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 3 & 3 - \lambda & -4\\ -2 & 1 & -\lambda -2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$$

I) Sustituir A $\lambda_3 = 1$

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -4\\ -2 & 1 & -3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$$

II) Reducir la matriz elemental de fila de las operaciones.

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3$

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 2\\ -2 & 1 & -3 \\ \end{bmatrix}$$

$R_3 \leftarrow 3R_2 + 2R_3$

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 2\\ 17 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$R_2 \leftarrow \frac{1}{7} R_2$

$R_3 \leftarrow \frac{1}{17} R_3$$

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2/7\\ 1 & 2/17 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

III) multiplicar matrices para obtener una serie de ecuaciones es igual a 0 y reorganizarlas en términos de un elemento común.

$x_1 + \frac{2}{7}x_3 = 0 \rightarrow x_1 = -\frac{2}{7}x_3$

$x_1 + \frac{2}{17}x_2 = 0 \rightarrow x_1 = -\frac{2}{17}x_2$

IV) Sustituir un valor en el vector para obtener un autovector.

Deje que $\ x_1 = 1 \rightarrow X_3 = \left(\begin{smallmatrix}1\\-2/17\\-2/7\end{smallmatrix}\right)$

Que en este punto podemos ver que no es un múltiplo de la esperada $X_3$. ¿Alguien puede destacar mi error para mí?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El error se encuentra en el extremo después de obtener el sistema de ecuaciones. Usted tiene

$$x_1 + \frac{2}{7}x_3 = 0 \\ x_1 + \frac{2}{17}x_2 = 0$$

Quieres escribir $x_2$ $x_3$ en términos de los elementos comunes $x_1$, por lo que

$$x_2 = -\frac{17}{2}x_1 \\ x_3 = -\frac{7}{2}x_1$$

Esto significa que el vector que se busca es la

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix} 1 \\ -17/2 \\ -7/2\end{pmatrix}$$

Answer 2

Uh, que simplemente mala álgebra - tu fracciones son al revés! Ha $x_1= -\frac{2}{7}x_3$$x1= -\frac{2}{17}x_2$. Establecimiento $x_1= 1$ da $-\frac{2}{7}x_3= 1$$x_3= -\frac{7}{2}$$-\frac{2}{17}x_2= 1$$x_2= -\frac{17}{2}$, no lo tiene. que da $X_3= \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{17}{2} \\ -\frac{7}{2} \end{pmatrix}$. Que es un múltiplo de a $\begin{pmatrix}2 \\- 17 \\ -7\end{pmatrix}$.

Answer 3

Se ha resuelto el problema correctamente hasta $$x_1 + \frac{2}{7}x_3 = 0 \rightarrow x_1 = -\frac{2}{7}x_3$$ and $$x_1 + \frac{2}{17}x_2 = 0 \rightarrow x_1 = -\frac{2}{17}x_2$$ Now when you let $x_1=1$ you get $x_3=-\frac {7}{2}$ and $x_2=-\frac {17}{2}$ que te dan la correcta autovector.