Cómo utilizar matemáticamente la I y D de un controlador PID

Question

Estoy tratando de entender matemáticamente cómo el $P$ , $I$ y $D$ parámetros trabajan en un sistema, bastante difícil de hacer.

Sólo he podido demostrar que el error de estado estable (SSE) nunca llega a ser cero para el uso de una P utilizando un ejemplo sencillo, pero no soy capaz de demostrarlo para los demás, estaría muy agradecido si alguno pudiera demostrarlo matemáticamente.

SSE: Considere una la planta siendo \begin {Ecuación} G(S) = \frac {1}{s(s+1)} \end {ecuación} y que el controlador sólo sea $G_c(s) = K$ . La señal de error se calcula como \begin {Ecuación} E(s) = \frac {1}{1+ \frac {k}{s(s+1)}}. \end {Ecuación} Calculando el límite como $s \to 0$ ya que en el paso de entrada obtenemos \begin {equation} SSE = \frac {1}{1 + k}, \end {ecuación} mostrando así que el SSE disminuye pero nunca llega a ser cero.

Podría haber encontrado una solución para el rebasamiento también, pero $I$ y $D$ siguen siendo un poco difíciles de manejar. No veo cómo cambia la relación de amortiguación debido a la adición de un $I$ y $D$ .

Answer 1

Como estás usando una planta de segundo orden, adaptaré mi respuesta a eso.

Como se ha señalado anteriormente, la ganancia proporcional, $k_p$ es lo que determina la mayor parte de la respuesta del controlador al error, aunque un $P$ por sí solo suele tener un error de estado estacionario (lo que a veces se denomina "droop").

Para solucionar este error de estado estacionario, introducimos la ganancia integral, $k_I$ . Esto ayuda a eliminar el error de estado estacionario, ya que no sólo tiene en cuenta la magnitud del error, sino también su duración. En concreto, si dejamos que $e(t)$ denotan nuestra señal de error, a $PI$ tiene la forma \begin {ecuación} u_{PI}(t) = k_pe(t) + k_I \int_ {0}^{t}e( \tau ) d \tau \end {ecuación} y tiene la función de transferencia \begin {Ecuación} \frac {U(s)}{E(s)} = k_p + \frac {k_I}{s}. \end {Ecuación}

Si queremos controlar un sistema de segundo orden con función de transferencia \begin {Ecuación} \tag {1} \frac {Y(s)}{U(s)} = \frac {A}{s^2 + a_1s + a_2}, \end {ecuación} y hacer que siga una señal de referencia $R(S)$ nuestro controlador se convierte en \begin {Edición} U(s) = k_p(R(s) - Y(s)) + k_I \left ( \frac {R(s) - Y(s)}{s} \right ). \end {ecuación} Si sustituimos esto en la ecuación $(1)$ y haciendo algunos reajustes, encontramos que nuestra ecuación característica es \begin {Ecuación} s^3 + a_1s^2 + (a_2 + Ak_P)s + Ak_I = 0. \end {ecuación} Aquí podemos controlar dos coeficientes, pero nos gustaría controlar tres de ellos (todos excepto el $s^3$ uno) porque entonces podemos fijar las tres raíces del polinomio característico. En la práctica, $PI$ Los controladores pueden provocar sobregiros y oscilaciones. Así, mientras que un $PI$ ha resuelto el problema de tener errores de estado estacionario, todavía puede causar otros problemas y por estas razones introducimos el $D$ plazo.

Volviendo a realizar las manipulaciones anteriores con un $PID$ controlador, que tiene \begin {Ecuación} U(s) = k_P + \frac {k_I}{s} + k_Ds \end {ecuación} como su función de transferencia, vemos que la ecuación característica de nuestro sistema de segundo orden con un $PID$ controlador es \begin {Ecuación} s^3 + (a_1 + Ak_D)s^2 + (a_2 + Ak_P)s + Ak_I = 0. \end {Ecuación} Aquí podemos elegir tres coeficientes y por tanto determinar las tres raíces del polinomio característico. Esto significa que, al igual que con el $PI$ el error de estado estacionario está bajo nuestro control, pero también lo están las oscilaciones del sistema. En la práctica, el $D$ nos permite cancelar las oscilaciones que vemos cuando el $I$ se introduce el término.

Answer 2

Una forma de manejar las cuestiones del error de estado estacionario es con el Teorema del Valor Final (TVF). El teorema dice que si todos los polos del bucle cerrado están en el semiplano izquierdo, y la función de transferencia del bucle cerrado viene dada por $G_{cl}(s)$ , entonces para la entrada $U(s)$ la salida del sistema de bucle cerrado se aproxima asintóticamente a \begin {equation} y_{ss} = \lim_ {s \to 0} sG_{cl}(s)U(s) \end {ecuación} Es debe se comprobará que los polos de $G_{cl}(s)$ están en el semiplano izquierdo antes de evaluar esto.

Si modelamos la planta como \begin {Edición} G(s) = \dfrac {Z(s)}{P(s)} \end {ecuación}, y el controlador como un controlador PID "práctico" con una derivada filtrada \begin {Edición} H(s) = k_p + \dfrac {k_d s}{( \tau s + 1)} + \dfrac {k_i}{s} \end {ecuación} entonces podemos considerar la función de transferencia de error en lazo cerrado \begin {Ecuación} E(s) = \dfrac {1}{1+G(s)H(s)} \end {ecuación} para encontrar el valor final del error a un paso unitario ( $U(s) = 1/s$ ) cuando el sistema de bucle cerrado es estable. Para su modelo de planta del sistema \begin {Edición} G(s) = \dfrac {1}{s(s+1)} \end {ecuación} después de un poco de álgebra tenemos \begin {equation} e_{ss} = \lim_ {s \to 0} sE(s) \dfrac {1}{s} = \lim_ {s \to 0} s \cdot \dfrac {s^2( \tau s + 1)(s + 1)}{k_d s^2 + k_p s ( \tau s + 1) + k_i ( \tau s + 1) + s^2( \tau s + 1)(s + 1)} \cdot \dfrac {1}{s} \end {Ecuación} Suponiendo que los polos de $E(s)$ están en el semiplano izquierdo, este límite puede ser evaluado introduciendo $s = 0$ para que el error de estado estacionario sea \begin {equation} e_{ss} = \dfrac {0}{k_i} = 0 \end {Ecuación}

Incluso si la entrada fuera una rampa ( $U(s) = 1/s^2$ ), este sistema de bucle cerrado seguiría teniendo un error de estado estacionario nulo.

Además, tienes un error en tu análisis actual. El error de estado estacionario a una entrada de paso, para su planta con un controlador proporcional, debe ser cero. (Su sistema es un sistema "tipo 1". Para más información vea aquí: http://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/System_Metrics#System_Type )

La relación de $k_d$ y $k_i$ al rebasamiento y la amortiguación es normalmente entendido como $D$ aumentar la amortiguación (reducir el rebasamiento), y $k_i$ aumentando el rebasamiento pero reduciendo el error de estado estable. Probablemente lo más fácil sea pensar que estos efectos se deben a un "retraso" introducido por la integración del error (es mirar hacia los errores pasados), y a un efecto "predictivo" que tiene la derivada (es como extrapolar hacia el futuro). Estos conceptos se vuelven mucho más precisos cuando se estudia el análisis clásico en el dominio de la frecuencia de los sistemas de control.