Si $X$ y $Y$ están conectados, entonces $(X\times Y)\setminus(A\times B)$ es conexo para cualquier subconjunto adecuado $A,B$

Question

Me encuentro con estos dos ejercicios:

• Q1 : dejar $A$ sea un subconjunto propio de $X$ y $B$ sea un subconjunto propio de $Y$ . Si $X$ y $Y$ están conectadas, demuestre que $(X\times Y)\setminus(A\times B)$ está conectado.

• Q2 : Dejemos que $Y\subset X$ . Supongamos que $X$ y $Y$ estar conectado. Demuestre que si $A$ y $B$ forman una separación de $X\setminus Y$ entonces $Y\cup A$ y $Y\cup B$ están conectados.

Mi intento de Q2

Creo que para demostrarlo por contradicción, suponga $Y\cup A$ y $Y\cup B$ no están conectados entonces para $P$ y $Q$ disyuntiva $Y\cup A=P\coprod Q$ y para $M$ y $N$ disyuntiva $Y\cup B=M\coprod N$ $$(Y\cup A)\cup (Y\cup B)=(P\coprod Q)\cup (M\coprod N)$$ El lado izquierdo dará $X$ y el lado derecho puede escribirse como una unión disjunta, lo que contradice el hecho de que $X$ está conectado, por lo que $Y\cup A$ y $Y\cup B$ debe estar conectado.

Necesito ayuda para Q1 .

Answer 1

En cuanto a Q1, para cada $x$ en $X \setminus A$ , $S_{x} = \{x\} \times Y$ está conectado, y para cada $y$ en $Y \setminus B$ , $T_{y} = X \times \{y\}$ es conexo, ya que estos conjuntos son homeomorfos a los espacios conexos $Y$ resp. $X$ . Además, cada $S_{x}$ se cruza con $T_{y}$ así que para el caso de la $x \in X \setminus A$ , $U_{x} = S_{x} \cup \cup_{y \in Y \setminus B} T_{y}$ también está conectado.

Ahora $( X \times Y) \setminus (A \times B)$ es la unión de estos conjuntos $U_x$ que también se cruzan, lo que hace que esté conectado. Esto utiliza los teoremas estándar sobre las uniones de conjuntos conectados.

En cuanto a Q2, basta con demostrar (por simetría) que $Y \cup A$ está conectado. Supongamos que no, entonces se puede escribir como una unión disjunta (no trivial) de digamos $U$ y $V$ . Por la conectividad de $Y$ uno de ellos, digamos $U$ debe faltar $Y$ y luego se comprueba que $U$ está cerrado en $A$ . Como $A$ está cerrado en $X \setminus Y$ , $U$ sería entonces clopen en $X \setminus Y$ y por lo tanto en $X$ contradiciendo su conectividad. Se han omitido algunos detalles.

Answer 2

En la pregunta 2 tienes un error lógico en la suposición: si lo demuestras por contradicción entonces tienes que asumir que un de ellos está desconectado, no necesariamente ambos. Además, hay que mencionar que $P,Q$ están abiertos (o cerrados).
En cuanto a Q1, demuestre por contradicción: Si $(X\times Y)\setminus(A\times B)$ está desconectado, entonces $$(X\times Y)\setminus(A\times B)=F_1\times F_2 ⊔ G_1\times G_2$$ $F_1,G_1$ están cerradas en $X$ , $F_2,G_2$ están cerradas en $Y$ . Desde $A$ es adecuado, tome cualquier $x\notin A$ . Entonces, para cualquier $y\in Y$ tienes $(x,y)\in(X\times Y)\setminus(A\times B)$ Por lo tanto $(x,y)\in F_1\times F_2 ⊔ G_1\times G_2$ . De ello se desprende que $Y=F_2 ⊔G_2$ (Rellene todos los datos)